Page:Carnot - Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal, 1860.djvu/86

c’est-à-dire que le centre cherché des moyennes distances de la pyramide est sur la droite menée du sommet au centre des moyennes distances de la base, et au quart de cette ligne à partir de cette même base.

94. Soit proposé de trouver l’équation de la courbe dont la sous-tangente est à l’abscisse dans un rapport donné, c’est-à-dire que x étant l’abscisse, la sous-tangente soit mx où m est supposée constante.

L’expression générale de la sous-tangente dans une courbe quelconque dont les coordonnées sont x et y est $y{\frac {dx}{dy}}$ c’est-à-dire que $y{\frac {dx}{dy}}$ diffère infiniment peu de la sous-tangente. Nous avons donc dans le cas présent l’équation imparfaite

$mx=y{\frac {dx}{dy}}$,

d’où je tire

${\frac {dy}{y}}={\frac {dx}{mx}}$,

et en intégrant

$\log y={\tfrac {1}{m}}\log x+\log a$,

a étant une constante.

Multipliant par m et réduisant, on aura

$\log y^{m}=\log x+\log a^{m}$,

ou

$\log y^{m}=\log {a^{m}x}$,

ou enfin

$y^{m}=a^{m}x$,

équation qui, étant dégagée de toute considération de l’infini, est rigoureusement exacte.

DU CALCUL DES VARIATIONS

95. Le calcul des variations est l’une des plus brillantes conceptions de notre immortel Lagrange. L’objet principal de ce calcul est de résoudre d’une manière générale les fameuses