questions de maximis et minimis qui occupèrent si longtemps les premiers géomètres de l’Europe, peu après l’invention du calcul infinitésimal.
Euler avait déjà traité ces questions avec sa profondeur et sa clarté ordinaires, dans un ouvrage à part, intitulé : Methodus inveniendi lineas curvas maximâ minimâve proprietate gaudentes. Mais c’est à Lagrange qu’on doit l’algorithme qui a donné à cette belle théorie un caractère propre et une marche uniforme et simple autant que possible.
Dans les questions ordinaires de maximis et minimis, il s’agit de trouver des valeurs déterminées qu’on doit attribuer aux diverses variables qui entrent dans telle ou telle fonction finie proposée de ces mêmes variables, pour que cette fonction obtienne la plus grande ou la plus petite valeur possible.
Dans le calcul des variations, au contraire, ce sont les relations mêmes qui existent entre les variables qu’il s’agit de trouver, c’est-à-dire les équations qui doivent avoir lieu entre ces variables pour satisfaire à la condition du maximum ou du minimum. De plus, la fonction qui doit être un maximum ou minimum n’est pas, comme dans les questions ordinaires, uniquement composée de quantités finies, mais elle doit être l’intégrale seulement indiquée d’une fonction différentielle qui n’est pas susceptible d’intégration.
96. Qu’il soit question, par exemple, de tracer sur un plan, fig. 9, entre deux points A, D, une courbe telle, que AK étant l’axe et DK l’ordonnée menée du point D perpendiculairement à cet axe, l’aire comprise entre la courbe et les coordonnées AK, DK soit un maximum parmi toutes les courbes de même longueur.
Quoique ce problème appartienne à la théorie générale des maximis et minimis, on voit cependant qu’il est d’une nature bien différente de ceux dont nous avons parlé (73), car il ne s’agit point ici de trouver les valeurs déterminées AK, DK de x et y qui satisfassent à la question proposée, puisque ces valeurs sont déjà données ; mais il s’agit de trouver la nature même de cette courbe, c’est-à-dire l’équation générale qui doit avoir lieu pour tous ses points entre les coordonnées.
