L’aire comprise entre cette courbe, quelle qu’elle puisse être, et les coordonnées extrêmes AK, DK est : c’est donc cette intégrale simplement indiquée qui doit être un maximum. Ainsi dans cette espèce de questions, c’est, comme nous l’avons dit ci-dessus, l’intégrale d’une certaine quantité différentielle non intégrable, qui doit être un minimum, et il s’agit de trouver la relation qui doit exister entre les variables pour satisfaire à cette condition.
97. Cependant le principe général est toujours le même que pour les questions ordinaires des maximis et minimis ; c’est-à-dire que quand la quantité qui doit devenir un maximum, par exemple, est parvenue à ce terme, elle ne peut plus augmenter. En approchant de ce terme, elle augmente de moins en moins jusqu’à ce qu’elle l’ait atteint ; alors elle devient comme stationnaire, pour commencer ensuite insensiblement à diminuer : de sorte qu’à cet état de maximum, la quantité peut être considérée comme constante ou ayant pour différentielle 0, quoique celles des quantités variables dont elle est fonction ne le soient pas. Donc si la forme de la courbe venait à varier infiniment peu pour devenir AM’N'D, et qu’on désignât les nouvelles coordonnées par x’, y’, l’aire pourrait être considérée comme égale à ; ou, ce qui revient au même, l’accroissement que prend pour devenir doit être supposé égal à 0, lorsque la relation de x à y est celle qui convient au maximum cherché. Or c’est cet accroissement qu’on nomme la variation de , comme on va le dire.
98. Soit donc AM’N’R’D une courbe quelconque infiniment peu différente de la première : si l’on considère cette nouvelle courbe comme la courbe même AMNRD, qui subit une transformation infiniment petite, nous pourrons regarder chaque point M’ de la transformée comme un point M de l’autre qui a passé de M en M’, de sorte que chacun des points de la nouvelle courbe a son correspondant dans la première. Cela posé, l’accroissement que reçoit dans ce changement chacune des quantités qui entrent dans le système, lorsqu’il passe de son premier état au second, se nomme variation de cette quantité. Ainsi, par exemple, la variation MP est M’P’-MP, celle NQ
