101. Nous avons déjà remarqué que les combinaisons de l’analyse en général sont fondées sur les divers degrés d’indétermination dont jouissent les quantités mêlées ensemble dans un même calcul. On en a ici un nouvel exemple. Car les variations sont des quantités encore plus indéterminées que les différentielles, déjà elles-mêmes, comme on l’a vu, plus indéterminées que les simples variables.
En effet, lorsque l’on conçoit que la nature d’une courbe vient à changer infiniment peu, on regarde toujours la première courbe comme un terme fixe auquel on la rapporte dans ses divers états successifs. Les petits changements opérés s’expriment par le moyen des variations que subissent les coordonnées et autres quantités du système, et ces variations peuvent être supposées aussi petites qu’on le veut, sans rien changer au système désigné, tandis que celui qui est donné par les variations est un système auxiliaire qui s’approche continuellement du premier, jusqu’à en différer aussi peu qu’on le veut.
Les différentielles sont assujetties à la loi prescrite par la relation des coordonnées, au lieu que la loi qui lie les variations à ces coordonnées est arbitraire, d’où il suit que, quoique les unes et les autres soient de simples auxiliaires, ces dernières sont plus indéterminées que les premières, puisqu’elles pourraient changer encore, quand même on regarderait celles-ci comme fixes.
102. Si l’on suppose que x soit l’une des variables, et x’ la quantité infiniment peu différente qui lui correspond dans le nouveau système, (x’ — x) sera la quantité infiniment petite dont x aura augmenté pour devenir x’, et par conséquent ce que nous avons appelé la variation de x ou δx. Il est donc évident que pour trouver la variation d’une fonction quelconque de x, il n’y aura qu’à y substituer (x + δx), au lieu de x, puis en retrancher la première fonction : procédé qui, étant absolument le même que celui de la différentiation, montre qu’il n’y a de différence entre la variation et la différentielle que dans la caractéristique, qui est δ pour la première, et d pour la seconde.
103. Les règles étant entièrement les mêmes pour les deux calculs, sauf les caractéristiques, il est clair que la variation de
