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dx est δdx, et que réciproquement la différentielle de δx est dδx. Mais avec un peu d’attention nous reconnaîtrons facilement que ces deux quantités δdx et dδx sont les mêmes et ne diffèrent que par leurs formes, c’est-à-dire qu’on a nécessairement

$\delta dx=d\delta x$.

En effet, nous avons quatre systèmes de quantités à comparer, savoir : 1^o. le système qui répond au point M ; 2^o. le système qui répond au point N et auquel on passe du premier par différentiation ; 3^o. le système qui répond au point M’ et auquel on passe du premier par variation ; 4^o. le système qui répond au point N’ et auquel on passe, soit du second répondant au point N par variation, soit du troisième répondant au point M’ par différentiation.

Or la valeur de la variable qui répond au premier de ces quatre systèmes, c’est-à-dire au système désigné, est x par hypothèse ; celle qui répond au second est (x+dx); celle qui répond au troisième est (x+δx), et enfin celle qui répond au quatrième est, suivant la route qu’on prend pour y parvenir, ou

$(x+dx)+\delta (x+dx)$,

ou

$(x+\delta x)+d(x+\delta x)$.

Ces deux dernières quantités expriment donc la même chose, savoir, la valeur de la variable x dans le quatrième système ; ces deux quantités sont donc égales, c’est-à-dire qu’on a

$(x+dx)+\delta (x+dx)=(x+\delta x)+d(x+\delta x)$ ;

exécutant les opérations indiquées, on aura

$x+dx+\delta x+\delta dx=x+\delta x+dx+d\delta x$,

et réduisant

$\delta dx=d\delta x$.

C’est-à-dire que la variation de la différentielle d’une quantité quelconque est toujours égale à la différentielle de la variation : proposition qui est l’un des principes fondamentaux du calcul des variations.