104. Un autre principe qui dérive du premier, et qui est également fondamental, est que la variation de l’intégrale d’une quantité quelconque différentielle est égale à l’intégrale de la variation ; c’est-à-dire qu’en général
,
P exprimant une fonction quelconque différentielle de diverses variables, telles que x, y, z, etc., et de leurs différentielles.
En effet, soit
;
en différentiant on aura
,
et prenant les variations,
,
ou, d’après le principe établi ci-dessus,
;
intégrant alors on aura
,
ou, remettant pour U sa valeur,
.
105. Maintenant soit proposé de trouver la variation d’une formule intégrale indéfinie ; c’est-à-dire de trouver , ou plutôt de donner à cette expression une forme qui la dispose à être dégagée du signe auxiliaire δ, lequel est toujours celui qu’on doit tendre à faire disparaître le premier.
D’après le second principe fondamental, nous aurons
,
ou, par le premier principe,
|
|
(A)
|
mais
,
ou, en intégrant et transposant,
.