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104. Un autre principe qui dérive du premier, et qui est également fondamental, est que la variation de l’intégrale d’une quantité quelconque différentielle est égale à l’intégrale de la variation ; c’est-à-dire qu’en général

$\textstyle \delta \int \mathrm {P} =\int \delta \mathrm {P}$,

P exprimant une fonction quelconque différentielle de diverses variables, telles que x, y, z, etc., et de leurs différentielles.

En effet, soit

$\textstyle \int \mathrm {P} =\mathrm {U}$ ;

en différentiant on aura

$\mathrm {P} =d\mathrm {U}$,

et prenant les variations,

$\delta \mathrm {P} =\delta d\mathrm {U}$,

ou, d’après le principe établi ci-dessus,

$\delta \mathrm {P} =d\delta \mathrm {U}$ ;

intégrant alors on aura

$\textstyle \int \delta \mathrm {P} =\delta \mathrm {U}$,

ou, remettant pour U sa valeur,

$\textstyle \int \delta \mathrm {P} =\delta \int \mathrm {P}$.

105. Maintenant soit proposé de trouver la variation d’une formule intégrale indéfinie $\textstyle \int \mathrm {V} dx$ ; c’est-à-dire de trouver $\textstyle \delta \int \mathrm {V} dx$, ou plutôt de donner à cette expression une forme qui la dispose à être dégagée du signe auxiliaire δ, lequel est toujours celui qu’on doit tendre à faire disparaître le premier.

D’après le second principe fondamental, nous aurons

$\textstyle \delta \int \mathrm {V} dx=\int \delta (\mathrm {V} dx)=\int dx\delta \mathrm {V} +\int \mathrm {V} \delta dx$,

ou, par le premier principe,

$\textstyle \delta \int \mathrm {V} dx=\int dx\delta \mathrm {V} +\int \mathrm {V} d\delta x{\text{ ;}}\ldots$

(A)

mais

$d(\mathrm {V} \delta x)=d\mathrm {V} \delta x+\mathrm {V} d\delta x$,

ou, en intégrant et transposant,

$\textstyle \int \mathrm {V} d\delta x=\mathrm {V} \delta x-\int d\mathrm {V} \delta x$.