courbe donnait de celle-ci une idée de plus en plus précise, et la loi de continuité servant de guide, on pouvait enfin parvenir à la connaissance exacte de ses propriétés.
Mais il ne suffisait pas aux géomètres d’avoir reconnu et comme deviné ces propriétés, il fallait les vérifier d’une manière incontestable, et c’est ce qu’ils faisaient en prouvant que toute supposition contraire à l’existence de ces mêmes propriétés conduisait nécessairement à quelque contradiction ; c’est pourquoi ils nommaient ce genre de démonstrations réduction à l’absurde.
108. C’est ainsi qu’ayant d’abord établi que les aires des polygones semblables sont entre elles comme les carrés de leurs lignes homologues, ils en ont conclu que les cercles des différents rayons sont entre eux comme les carrés de ces rayons : ce qui est la seconde proposition du douzième livre d’Euclide. L’analogie les a conduits à cette conclusion, en imaginant dans ces cercles des polygones réguliers inscrits d’un même nombre de côtés. Car, comme, en augmentant tant qu’on veut le nombre de ces côtés, leurs aires demeurent toujours entre elles comme les carrés des rayons des cercles circonscrits, ils ont facilement aperçu que la même chose devait nécessairement avoir lieu pour les cercles mêmes dont ces polygones approchent de plus en plus, jusqu’à en différer aussi peu qu’on le veut ; mais cela ne suffisait pas : il fallait démontrer rigoureusement que la chose était réellement ainsi, et c’est ce qu’ils ont fait, en montrant que toute supposition contraire fait nécessairement tomber dans une absurdité.
Les anciens ont démontré de la même manière que les volumes des sphères sont entre eux comme les cubes de leurs diamètres ; que les pyramides de même hauteur sont comme leurs bases ; que le cône est le tiers d’un cylindre de même base et de même hauteur.
Souvent, pour mieux discuter leur objet, les anciens faisaient intervenir tout à la fois, comme auxiliaires, les polygones inscrits et les polygones circonscrits, qu’ils comparaient les uns aux autres. Par là ils resserraient de plus en plus la courbe comprise entre ces figures rectilignes, et saisissaient plus facilement les propriétés de cette grandeur moyenne.
