109. Ils en usaient de même à l’égard des surfaces courbes et des volumes des corps. Ils les imaginaient tout à la fois inscrits et circonscrits à d’autres surfaces, dont ils augmentaient graduellement le nombre des côtés et des zones, de manière à resserrer de plus en plus entre les unes et les autres la surface proposée. La loi de continuité leur indiquait encore les propriétés de cette figure moyenne, et ils les vérifiaient par la réduction à l’absurde, en s’assurant par une démonstration rigoureuse que toute supposition contraire menait infailliblement à quelque contradiction.
C’est de cette manière qu’Archimède a démontré que la surface convexe d’un cône droit est égale à l’aire du cercle qui a pour rayon la moyenne proportionnelle entre le côté du cône et le rayon du cercle de la base ; que l’aire totale de la sphère est quadruple d’un de ses grands cercles, et que celle d’une quelconque de ses zones est égale à la circonférence du grand cercle, multipliée par la hauteur de cette zone.
C’était encore par la réduction à l’absurde que les anciens étendaient aux quantités incommensurables les rapports qu’ils avaient découverts entre les quantités commensurables. Cette doctrine est certainement très belle et très précieuse ; elle porte avec elle le caractère de la plus parfaite évidence, et ne permet pas qu’on perde son objet de vue : c’était la méthode d’invention des anciens ; elle est encore très utile aujourd’hui, parce qu’elle exerce le jugement, qu’elle accoutume à la rigueur des démonstrations et qu’elle renferme le germe de l’analyse infinitésimale. Il est vrai qu’elle exige quelque contention d’esprit ; mais la méditation n’est-elle pas indispensable à tous ceux qui veulent pénétrer dans la connaissance des lois de la nature, et n’est-il pas nécessaire d’en contracter l’habitude de bonne heure, pourvu qu’on n’y sacrifie pas un temps trop considérable ?
110. En observant avec attention les procédés de cette méthode d’exhaustion, on voit qu’ils se réduisent toujours à faire intervenir des quantités auxiliaires dans la recherche des propriétés ou des relations de celles qui sont proposées ; celles-ci sont considérées comme les termes extrêmes dont les premières sont supposées s’approcher continuellement, et la loi
