de continuité qu’elles suivent dans ce rapprochement indique les modifications par lesquelles on peut passer des propriétés connues de ces auxiliaires aux propriétés jusqu’alors inconnues des quantités proposées.
C’est ainsi qu’on applique la méthode d’exhaustion à la recherche des propriétés des courbes, au moyen des polygones inscrits et circonscrits, qui sont des systèmes auxiliaires de quantités connues, lesquels se rapprochant graduellement de la courbe proposée, font connaître par la loi de continuité qu’elles observent dans ce rapprochement, et par leur analogie qui devient de plus en plus intime avec cette courbe, les affections et propriétés de cette dernière.
111. La méthode d’exhaustion a donc essentiellement le même but et suit dans sa marche les mêmes principes que l’analyse infinitésimale. C’est toujours le même système auxiliaire de quantités connues, lié d’une part à celui que l’on cherche à connaître, tandis que, d’une autre part, il reste à ce système assez d’arbitraire pour qu’on puisse à volonté le rapprocher par degrés du système proposé ; ce qui fait connaître par induction les relations cherchées. Il ne reste plus alors qu’à constater la certitude de ces relations, et c’est ce qu’on obtient par la réduction à l’absurde.
112. Newton fit faire à cette doctrine un grand pas vers la perfection au moyen de sa théorie des premières et dernières raisons, qui sont précisément celles que fait connaître la loi de continuité dans le rapprochement graduel du système auxiliaire avec le système désigné. Par cette nouvelle théorie, il étendit les principes de la méthode d’exhaustion et simplifia ses procédés, en la débarrassant de la nécessité qu’elle s’était imposée de constater toujours par la réduction à l’absurde l’exactitude des relations qu’elle parvient à découvrir, et en prouvant que ces relations sont suffisamment établies par le mode même employé pour les obtenir. C’est ce qu’annonce en effet Newton en terminant l’exposé de cette théorie : « J’ai commencé, dit-il, par ces lemmes, pour éviter de déduire de longues démonstrations par l’absurde, selon la méthode des anciens géomètres. »
