les volumes des pyramides, qui sont les sommes respectives de ces éléments, sont égaux entre eux.
114. Soit AB (fig. 10) le diamètre d’un demi-cercle AGB ; soient ABFD le rectangle circonscrit, CG le rayon perpendiculaire à DF ; soient de plus menées les deux diagonales CD, CF, et enfin par un point quelconque m de la droite AD, soit menée la droite mnpg perpendiculaire à CG, laquelle coupera la circonférence au point n, et la diagonale CD au point p.
Concevons que toute la figure tourne autour de CG comme axe, le quart de cercle ACG engendrera le volume de la sphère dont le diamètre est AB, le rectangle ADCG engendrera le cylindre droit circonscrit, c’est-à-dire ayant même diamètre ; le triangle isocèle rectangle CGD engendrera un cône droit ayant les lignes égales CG, DG, pour hauteur et pour rayon de sa base ; et enfin les trois droites ou segments de droite mg, ng, pg, engendreront chacune un cercle dont le centre sera au point g.
Or le premier de ces trois cercles est l’élément du cylindre, le second est l’élément de la demi-sphère et le troisième du cône.
De plus, les aires de ces cercles étant comme les carrés de leurs rayons, et ces trois rayons pouvant visiblement former l’hypoténuse et les deux petits côtés d’un triangle rectangle, il est clair que le premier de ces cercles est égal à la somme des deux autres, c’est-à-dire que l’élément du cylindre est égal à la somme des éléments correspondants de la demi-sphère et du cône, et, comme il en est de même de tous les autres éléments, il s’ensuit que le volume total du cylindre est égal à la somme du volume total de la demi-sphère et du volume total du cône.
Mais on sait d’ailleurs que le volume du cône est le tiers de celui du cylindre ; donc celui de la sphère en est les deux tiers ; donc le volume de la sphère entière est les deux tiers du volume du cylindre circonscrit, ainsi que l’a découvert Archimède.
115. Cavalerius avertit bien positivement que sa méthode n’est autre chose qu’un corollaire de la méthode d’exhaustion,
