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par l’une des valeurs de $y$ quand $x$ est dans cet intervalle. Si $x$ est dans l’intervalle $(a_{i},a_{i+1})$, $y$ varie entre certaines limites $m_{i}$, $m_{i+1}$, et réciproquement si $y$ est entre $m_{i}$ et $m_{i+1}$, $x$ est entre $a_{i}$ et $a_{i+1}$. De sorte qu’au lieu de se donner la division de la variation de $x$, c’est-à-dire de se donner les nombres $a_{i}$ on aurait pu se donner la division de la variation de $y$, c’est-à-dire les nombres $m_{i}$. De là deux manières de généraliser la notion d’intégrale. On sait que la première (se donner les $a_{i}$) conduit à la définition donnée par Riemann et aux définitions des intégrales par excès et par défaut données par M. Darboux. Voyons la seconde.

» Soit la fonction $y$ comprise entre $m$ et $\mathrm {M} .$ Donnons-nous

$m=m_{0}<m_{1}<m_{2}<\ldots <m_{p-1}<\mathrm {M} =m_{p}$

$y=m$, quand $x$ fait partie d’un ensemble $\mathrm {E} _{0}$ ; $m_{i-1}<y\leqq m_{i}$ quand $x$ fait partie d’un ensemble $\mathrm {E} _{i}$.

» Nous définirons plus loin les mesures $\lambda _{0}$, $\lambda _{i}$ de ces ensembles. Considérons l’une ou l’autre des deux sommes

$m_{0}\lambda _{0}+\Sigma m_{i}\lambda _{i};m_{0}\lambda _{0}+\Sigma m_{i-1}\lambda _{i};$

si, quand l’écart maximum entre deux $m_{i}$ consécutifs tend vers zéro, ces sommes tendent vers une même limite indépendante des $m_{i}$ choisis, cette limite sera par définition l’intégrale des $y$ qui sera dite intégrable.

» Considérons un ensemble de points de $(a,b)$ ; on peut d’une infinité de manières enfermer ces points dans une infinité dénombrable d’intervalles ; la limite inférieure de la somme des longueurs de ces intervalles est la mesure de l’ensemble. Un ensemble $\mathrm {E}$ est dit mesurable si sa mesure augmentée de celle de l’ensemble des points ne faisant pas partie de $\mathrm {E}$ donne la mesure de $(a,b)$^[1]. Voici deux propriétés de ces ensembles : une infinité d’ensembles mesurables $\mathrm {E} _{i}$ étant donnée, l’ensemble des points qui font partie de l’un au moins d’entre eux est mesurable ; si les $\mathrm {E} _{i}$ n’ont deux à deux aucun point commun, la mesure de l’ensemble obtenu est la somme des mesures $\mathrm {E} _{i}$. L’ensemble des points communs à tous les $\mathrm {E} _{i}$ est mesurable.

» Il est naturel de considérer d’abord les fonctions telles que les ensembles qui figurent dans la définition de l’intégrale soient mesurables. On trouve que : si une fonction limitée supérieurement en valeur absolue est

1. Si l’on ajoute à ces ensembles des ensembles de mesures nulles convenablement choisis, on a des ensembles mesurables au sens de M. Borel (Leçons sur la théorie des fonctions).