4. Voici d’autres résultats, sur la démonstration desquels j’aurai à revenir, et où les classes indéfinies s’introduisent par un procédé analogue.
Décomposons un nombre de la forme 8 M -+- 3 en trois carrés impairs, de toutes les manières possibles :
(5) SM + 3 — (2k-hïy-h(2k’^-iy+(2k"+i) (k, k’, ¥>o)
d’autre part, considérons, pour le déterminant 8 M -f-3, les réduites principales (a, b, c) où a-f-c>o ; désignons, pour abréger, par (3 la quantité
1*1 ~ ï(a + c) ? qui est nécessairement impaire et positive ; on a, en représentant par f(x) une fonction paire de x, et d’ailleurs quelconque,
(6). 2(=i £ W-i*i)=>2/(a*+i).
La première somme s’étend aux réduites principales ci-dessus ; la seconde aux décompositions (5).
Si l’on fait en particulier /= 1, et si F(8M + 3) est le nombre des classes positives (ordre propre) de discriminant 8M + 3, la formule (6) donne, à cause de la relation connue entre ce nombre et celui des décompositions (5),
(7) F ^^^=12(^)>
2 portant sur les réduites principales de déterminant 8 M -h 3, pour lesquelles a-f-c>o. Cette dernière formule se déduirait, par le procédé du n° 3, d’une formule donnée par Hermite dans sa Lettre à Liouville et dans le Tome 100 du Journal de Crelle.
De même, faisant, dans (6), f(x) = x 2, ou /(a ?) =ar(— i)", on trouverait successivement :
5 (8M + 3)F(8M + 3) = 2(-^) 2 P(« + 0,
Une formule du même genre que (6) s’applique aux décompositions de 4 N -+- 3 en cinq carrés ; elle comprend, comme cas particulier, la suivante, qu’il est aisé d’établir directement :
Le nombre total des décompositions de "4N H- 3 en cinq carrés, les trois carrés impairs étant écrits les premiers, et les entiers élevés au carré
