ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations de Fredholm de première espèce. Note de M. Kyrille Popofp, présentée par M. G. Bigourdan.
1. Soient
f(*)=f K(x, y)F(y)dy et 9{x) = ■ f {x, y) ¥{y) dy
deux équations intégrales qui sont vérifiées par une même fonction F(y) On a w r
r 1 1
/(*) ?(*)=(K(x, y)< ? (x)F(y)dy= f K(x, y) f(x)dy,
et par conséquent
j t N (x >y) ?(x)-K(œ, y)f(x)]F(y)dy =
pour toutes les valeurs de ce dans un domaine déterminé, ce qui donne
(.) v., N(gi, r) k(g, y)
f(x) 9 (X)
Inversement, si la condition (1) est satisfaite, les deux équations f(a :)=j N(œ, y)F{y)dy et ?(*) = f K(x, y)9(y)dy
donnent t, n ettet, on a
/<*) ?(*) =j N(*, j) cp(^) F(y) ely = f^ y)f{x) <&(7) dy et ° ’ J ° J f N (^7) < P(^)P(j)-K(^, j)/(^)<6(j)]^ 7==0.
Cette équation étant vérifiée pour une infinité de valeurs de a ;, on a
et, ayant égard à la condition (1), on obtient
^yy=i ou bien F (j)-4.(j).
