Le rôle joué dans les expressions précédentes par |ï conduit aisément à des solutions étendues pour le problème correspondant à 3 paramètres, où l’on peut toujours
c. Pour l’espace (*, y, z), les intégrales c, qui donnent une seule relation entre x, y, z sont (B) u—~xy’—yrf->rkz’,
a—~ t + a(xy’ — y£’)-r bs et celles qui se déduisent des es correspondants à une et deux variables par la transformation de M.. Appel ! ; les intégrales qui entraînent deux relations s obtiennent en
remplaçant dans une intégrale
a=z<x(l, m, l’, m’, t),
deséquations p =M i, m), m ’=*W, m),
/par *, m par*, b par xz’-zx’, m’ pzvyz’-tf et t par lz c’est-à-dire en «é cu’tanf une transformation projective particulière. En dehors de ces cas généraux, on a, pour les intégrales indépendantes de t,
« = $*(#’, /, xy’—yx’)+f(x, y),
- = ^xy’-yx *’)+/(£’*)•
ou * 2 est une fonction du second degré et / une fonction arbitraire, et, pour les
autres, a = , + fl ^ + ft y + „’+ * a rc tangCA*’- !- B/-t- C*’)>
où a = l + qz -ry, ...^-n, ï, P, l, r désignant des constantes ; k est une constante et A, B, G sont des fonctions de x, /, s telles que
dkdx -f- dB dy -+- dCdz .
Le cas où À<te + B^ + C& est dé là forme dv-w du exige que A, B C aient des expressions analogues à a, b, c et ne convient pas. Si Adx +Bdy + Cdz = du on peut prendre « =.<*) ; enfin, si Adx +Bdy + Cdz = « du, on pourra supposer G = o, A, B dépendant de a :, y seuls et donnés par
dm i = du
"A - 5/’ B dx’
avec, ,
y + a ;/(w) + g-(w) = o.
Enfin, dans l’expression précédente, l’arc tangente peut èlre, comme plus haut, remplacé par un logarithme.
IL Dans le domaine de la Mécanique, on peut étendre ces résultats en sup-
