désigne par
la concentration de l’émanation dans une section placée à une distance
de la section origine, la quantité d’émanation qui traverse dans le sens
l’unité de cette section, par unité de temps, est égale à
où
est le coefficient de diffusion.
L’unité de surface de la section placée à la distance
sera de même traversée dans l’unité de temps par la quantité d’émanation
![{\displaystyle -\mathrm {D} {\frac {\partial }{\partial x}}\left(n+{\frac {\partial n}{\partial x}}\right)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cef9bb4af8c23e80f31c6041df767e5d7e9d85)
La quantité d’émanation détruite par unité de temps, dans la portion de la tranche qui a comme base l’unité de surface, est égale à
si
est le coefficient de destruction de l’émanation.
L’accroissement rapporté à l’unité de temps de la quantité d’émanation
contenue dans l’élément de volume considéré sera donc tel que
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(ndx)=-\mathrm {D} {\frac {\partial n}{\partial x}}+\mathrm {D} {\frac {\partial }{\partial x}}\left(n+{\frac {\partial n}{\partial x}}dx\right)-\lambda ndx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4aa09305a57cb531bbad2c0e5504c64fc37839)
d’où l’équation
![{\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=\mathrm {D} {\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{2}}}-\lambda n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f107570813855f8509f8c2595b3188ec66b983a)
Si la diffusion est achevée en quelques heures, on peut négliger la destruction de l’émanation pendant un temps aussi court, et l’équation se réduit alors à la forme simple
![{\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=\mathrm {D} {\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe4686fc18d4c30333330a8e9d221af2608d640)
On peut obtenir la solution de cette équation sous forme d’une série.
La solution contient des constantes arbitraires que l’on détermine de manière à satisfaire aux conditions aux limites, d’après lesquelles, au début de l’expérience, l’émanation est répandue
uniformément dans la portion
du tube seulement, et la vitesse de diffusion reste constamment nulle aux extrémités du tube.
En désignant par
la longueur du tube, par
et
les quantités d’émanation présentes respectivement au temps
dans les portions 1 et 2 du tube, on trouve
![{\displaystyle \mathrm {Q} _{1}={\frac {n_{0}l}{2}}-\mathrm {Q} _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16de500c77174278c8d9dedfa46f55851193d67f)
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