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Admettons que ce nombre soit aussi celui des atomes de radium D formés. Quand celui-ci sera en équilibre avec le radium E, il émettra par seconde un nombre $\mathrm {N} '$ de particules $\beta$ égal à ${\frac {d\mathrm {N} }{\lambda }},$ si l’on admet qu’un atome de radium D donne lieu à la formation d’un seul atome de radium E dont la destruction comporte l’émission d’une seule particule $\beta .$ On aura donc

$\mathrm {N} =d{\frac {\mathrm {N} }{\lambda }},\qquad {\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {N} '}}={\frac {\lambda }{\lambda '}}.$

En mesurant, dans le même appareil, l’intensité du rayonnement $\beta$ du radium C et du radium E qui en résulte suivant la théorie précédente, M. Rutherford a évalué à environ 40 ans la période de destruction de moitié pour le radium D.

MM. Meyer et von Schweidler^[1] ont utilisé une méthode analogue. Supposons que le radium D soit déposé avec une vitesse constante $\Delta$ sur le corps qui s’active ; tel sera le cas si le corps est exposé à l’action d’une émanation de concentration constante. Les quantités des matières D, E et F qui existeront après un temps $\tau$ sur le corps activé sont les suivantes :

$\mathrm {D} ={\frac {\Delta }{d}}(1-e^{-d\tau }),$

$\mathrm {E} =n_{1}{\frac {\Delta }{\varepsilon }}\left({\frac {d}{\varepsilon -d}}e^{-\varepsilon \tau }-{\frac {\varepsilon }{\varepsilon -d}}e^{-d\tau }+1\right)$

$\mathrm {F} ={\frac {n_{1}n_{2}\Delta }{f}}\left[{\frac {d\varepsilon }{(\varepsilon -f)(f-d)}}e^{-f\tau }-{\frac {\varepsilon f}{(\varepsilon -d)(f-d)}}e^{-d\tau }\right.$

$\left.-{\frac {df}{(\varepsilon -d)(\varepsilon -f)}}e^{-\varepsilon \tau }+1\right].$

Comme $d$ a une valeur très faible, on peut pour des valeurs de $\tau$ qui ne sont pas trop grandes, remplacer $e^{-d\tau }$ par $1-d\tau \,;$ de plus on peut négliger $d$ par rapport à $\varepsilon$ et $f,$ ainsi que $\varepsilon$ par rapport à $f.$ Supposons que chaque atome d’une substance ne produise qu’un atome de la substance suivante, ce qui conduit à poser $n_{1}=n_{2}=1.$ Choisissons enfin le temps $\tau$ de telle manière que l’exponentielle $e^{-\varepsilon t}$ soit négligeable ; cette condition pourra être réalisée pour un temps de quelques mois pour lequel l’exponentielle $e^{-dt}$ est encore voisine de 1.

1. Meyer et von Schweidler, Phys. Zeit., 1907.