Soient et les points cherchés, menons les droites et au sommet de la courbe. Nous aurons d'abord, puisque et sont sur la focale, et ; d'où il suit immédiatement que le cercle décrit de pour centre, et qui serait tangent à la directrice le serait aussi aux deux droites , ; car menons par exemple et le rayon , en vertu de l'égalité des triangles et , on aura , d'où suit l'égalité des deux perpendiculaires et .
Ainsi il sera bien facile de construire ces points et ; on mènera au cercle les deux tangentes du sommet de la focale et on aura quatre points aux extrémités de ces droites, considérées comme cordes du cercle donné: deux de ces quatre points seulement appartiennent à la focale. On distinguera facilement ceux-ci des autres à la seule inspection de la figure qu'on aura construite.
Il résulte de là que tout cercle, qui passe par le nœud de la focale, la coupe généralement en deux points; mais la position du cercle introduit quelques modifications dans les valeurs des ordonnées de ces points. Les voici:
I. Tant que le point est hors du cercle , les deux points sont réels.
II. Quand est dans le cercle, il n'y a plus de tangente et le cercle proposé ne coupe plus la courbe qu'en .
[Fig. 4 bis.]
III. Quand est sur la circonférence du cercle , comme pour , il n'y a plus qu'une tangente et partant les deux points d'intersection se réunissant en un seul, le cercle primitif
