décrivons les arcs , , , et par les points, où ces arcs rencontrent la droite parallèle à , menons à cette dernière les perpendiculaires , , , nous aurons alors les relations suivantes.
La surface de la portion de la focale est égale à la différence entre le rectangle et le secteur .
La surface de la portion est égale à la différence entre le rectangle et le même secteur .
D'où il suit que la surface ND'N', c'est à-dire la différence des deux aires ci-dessus, est équivalente à la différence du rectangle au rectangle . Cette surface est donc exactement quarrable.
Au fur et à mesure que le point monte, le point approche de , et il s'y confond tout-à-fait lorsque le rayon vecteur devient parallèle à la directrice; alors on a, pour la surface de la demi-feuille , le quarré moins le quart du cercle ; d'où il suit que cette demi-feuille est égale au triangle mixtiligne .
On remarquerait sans peine aussi que la surface, comprise entre la branche supérieure de la courbe, l'asymptote et le prolongement du rayon , vaut le quarré plus le quart du cercle . Conséquemment cette même surface avec la surface de la demi-feuille vaut deux fois le quarré .
Ces trois théorèmes ont été présentés par Mr A. Quetelet sous un jour un peu différent; mais j'ai cru pouvoir les développer ainsi pour obtenir un peu plus de brièveté. Du reste si ma construction n'est pas précisément la sienne, il y trouvera toujours son idée primitive.
