J42 Correspondance.
règle des signes telle qu'on l'attribue d'ordinaire à Descartes, la courbe x^ -}- j-^ =: nxy n'a qu'une feuille et deux branches infinies (ayant une même droite pour asymptote). Descartes admet, au contraire, ici, d'accord avec Roberval, quatre feuilles symétriques (voir plus loin, p. 3i6, 1. 17, le nom fleur de jasmin], comme s'il comptait toujours positivement l'ab- scisse A G, soit à droite, soit à gauche de l'origine A, et l'ordonnée GF, soit au-dessus, soit au-dessous de Vaissieu (axe) A H.
Page 3i7, 1. 3. — Comme le dira plus loin Descartes dans la même lettre (page 336, 1. 6-10), cette courbe n'est autre que son folium même, rapporté à AK et à la perpendiculaire en A comme axes. Soient, en effet, x' tiy' les nouvelles coordonnées, on a :
X = x' iy~ —jr' i^T, y = x' \y~ -\-y' \/'~.
Posant d'autre part n = 2 a \/~, on aura, pour transformée de l'équa- tion x3 +j'3 = nxy, la suivante :
x 4- 33y,_ = «ATj — ny^,
qui revient à celle que Descartes propose en fait.
Page 320,1. II. — Dans ce qui suit. Descartes répond à une lettre perdue de Fermât à Mersenne, probablement écrite en juillet i638, avant que lu Géomètre de Toulouse eût reçu la lettre de compliments de Descartes (ci- avant CXXXII, du 27 juillet), mais alors qu'il avait déjà connaissance de la lettre CXXVI de Descartes, du 29 juin (voir p. 326, 1. i). Fermât semble avoir repris ses objections sur la Dioptrique (cf. p. 2n3, 1. 9 et l'é- claircissement p. 278), mais avoir surtout discuté la lettre CXXII de Des- cartes à Mersenne, du 3 mai.
Le point le plus important paraît le~ reproche qu'il fait à Descartes de n'avoir pas bien compris sa méthode des tangentes, à lui Fermât, en disant qu'il fallait donner deux noms à la ligne qu'il nomme B (p. 324, 1. 7 8). Et, en effet, dans la lettre du 3 mai, pour appliquer la méthode de Fermât, Descartes exprime l'ordonnée, d'une part, en fonction de l'abscisse et de la différence de celle-ci, de l'autre enfonction de la sous-tangente et de la différence de l'abscisse, puis il égale ces deux expressions.
En langage moderne, soit j' = / (x) l'équation de la courbe, h la diffé- rence de l'abscisse x, u la sous-tangente, Descartes pose :
[u^h)L^=f{x+k). d'où
��Puis, après réductions, il fait h= o, et obtient la valeur de la sous-tan- gente.
L'objection de Fermât est que ce procédé suppose que l'on puisse tirer explicitement^^ en fonction de x, et ne s'applique pas aux équations impli- cites, que sa méthode permet de traiter directement, lorsqu'elles sont en-
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