Moyennes Proportionnelles. 6^7
» extrêmes h, m font données; & nous auons trouué les moyennes » AI, & ï D, qui eft ce que l'on demande. »
« Au fécond cas, quand la per | pendiculaire CF tombe au point » D, les lignes CF & CD font enfemble, & la ligne I D touche le » cercle, & eft efgale à BC : ce qui arriue quand «, la plus grande » des extrêmes données, eft oduple en puiffance de la moindre •) extrême m : partant, le Problème au mefme cas eft plan, & les >' lignes font continuellement doubles en puiffance l'vne de l'autre, » c'eft à dire comme le diamètre d'vn quarré à fon cofté ; comme il ' paroift par la demonftration fuiuante, laquelle eft facile. Car, par » la feptiefme Propofition du fécond liure d'Euclide, les quarrez » AI, AB, font efgaux au quarre BI, ou C F, ou CI), & à deux fois » le redangle lAB, ou au feul redangle lAE, ou au quarré ID, ou » BC : & adiouftant de part & d'autre le quarré BC, nous aurons » les trois quarrez AI, AB, & BC, efgaux aux trois CD, I D, & » BC. Mais, des trois premiers, les deux, AB, BC, font efgaux » au feul AC, efgal à CD. Soient donc oilez de part & d'autre les » quarrez AC, CD, reftera le feul quarré AI, efgal aux deux I D, )' BC, lefquels en ce cas cftant efgaux, le quarré AI fera double >i du quarré I D, ou du quarré de BC : mais le double du quarré de )■ BC, ou I D, eft efgal au redangle foubs l D & n. pour ce que n >) eft double de BC, ou. ID : donc le quarré de AI eft" efgal au » reclanglc foubs I D & » ; d'où il s'enfuit que les trois lignes n, AI, » & ID, font proportionnelles : & les trois AI, I D & AE, ou m, » edant aufli proportionnelles, à caufe de la parabole, les quatre h, » AI, ID & ni, feront continuellement proportionnelles: qui eft » ce que l'on demande. Et puis qu'il a efté prouué que le quarré » de A I eft double du quarré de I D, il paroift que les quatre lignes » font continuellement doubles en puiifance l'vne de l'autre ; & » que H fera oiftuple en puiftance de tu. »
.( Au troKicfme cas. quand la perpendiculaire CF tombe fur ID » prolongée au delà de D : ce qui arriue quand la plus grande i> extrême donnée eft plus qu'oC^uple en puiftance de la moindre : " la demonftration eft entièrement comme au premier cas, fans " changer \ ne feule lettre, ny vn feul mot : finon qu'alors, des deux » points, où la ligne ID coupe la circonférence du cercle, le point » D eft le plus proche du point I. veu qu'au premier cas il cil le » plus efloigné du mefme point I. "
��Œuvres. V. 83
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