Tirez la ligne FM parallele à CH, alors vous aurez IM=CG ; & par conséquent FG sera la différence des demi-diametres GC & IM. Par conséquent comme FG, qui est la différence des demi-diametres, est à GM, qui est la distance des centres, de même CF, qui est le demi diametre de la sphere opaque, est à MH, qui est la distance du sommet du cône d’ombre au centre de la sphere opaque. Si donc la raison de PM à MH est bien petite, de sorte que MH & PM ne different pas considérablement, MH pourra être pris pour l’axe du cône d’ombre, sinon la partie PM doit en être soustraite. Pour la trouver, cherchez la valeur de l’arc LK, car en la soustrayant d’un quart de cercle, il restera l’arc IQ, qui est la mesure de l’angle IMP. Cet arc LK se trouvera aisément, car il est la mesure de l’angle LMK, lequel est égal à l’angle MHI ; or cet angle MHI est un des angles du triangle rectangle MHI, dont les côtés MI & MH sont connus : ainsi on trouvera facilement l’angle MHI. Puis donc que dans le triangle MIP, qui est rectangle en P, nous avons, outre l’angle IMQ, le côté IM, le côté MP est aisé à trouver par la Trigonométrie.
Par exemple, si le demi diametre de la terre MI=1, & qu’on suppose le demi-diametre du soleil de 15 minutes (voyez Diametre), on en conclura que l’angle MIP ou KML n’est que de 16′ : car à cause de la petitesse du globe M par rapport au globe du soleil G, & de la grande distance GM du soleil, l’angle GMF ou KLM est à-peu près égal au demi-diametre du soleil. D’où il s’ensuit que MP n’est qu’environ la 228e partie de MI ou de I, c’est-à-dire dans la raison du sinus de 15′ au sinus total, ou à-peu près comme 15′ à 57 degrés. Voyez Sinus. Donc comme MH contient aussi environ 228 fois MI, il s’ensuit qu’on peut négliger PM par rapport à MH, & prendre MH ou 228 demi-diametres de la terre pour la longueur de l’axe du cône.
On voit par la solution précédente que la distance GM du corps opaque au corps lumineux est toujours en rapport constant avec la longueur MH de l’axe du cône, puisque le rapport de ces deux signes est égal à celui qu’il y a entre la différence FG des demi-diametres, & le demi-diametre MI du corps opaque. D’où il est aisé de conclure que si la distance GM diminue, il faut diminuer pareillement la longueur de l’ombre ; par conséquent l’ombre diminuera continuellement à mesure que le corps opaque approchera du corps lumineux.
8o . Trouver la longueur de l’ombre que fait un corps opaque T S, fig. 13, la hauteur du corps lumineux, par exemple du soleil au-dessus de l’horison (c’est à-dire l’angle SUT), & la hauteur du corps étant donnés. Puisque dans le triangle rectangle STU où T est un angle droit, l’angle U & le côté TS sont donnés, on trouvera par la Trigonométrie la longueur de l’ombre U T. Voyez Triangle.
Ainsi, supposé que la hauteur du soleil est de 37°. 45′. & la hauteur d’une tour 178 piés, TU sera 241 piés .
9o . La longueur de l’ombre TU & la hauteur du corps opaque TS étant données, trouver la hauteur du soleil au-dessus de l’horison.
Puisque dans le triangle rectangle STU, qui est rectangle en T, les côtés TU & TS sont donnés, on trouve l’angle U par la proportion suivante. Comme la longueur de l’ombre TU est à la hauteur du corps opaque TS, de même le sinus total est à la tangente de la hauteur du soleil au-dessus de l’horison. Ainsi, si TS est 30 piés & TU 45, TUS sera 33°. 41′.
10°. Si la hauteur du corps lumineux, par exemple du soleil sur l’horison TUS, est 45° ? la longueur
de l’ombre TU est égale à la hauteur du corps opaque ; car alors l’angle U étant de 45 degrés, l’angle TSU est aussi de 45 degrés, & par conséquent les côtés TS, TU opposés à ces angles sont égaux.
11°. Les longueurs des ombres T Z & TU du même corps opaque TS, à différentes hauteurs du corps lumineux, sont comme les cotangentes de ces hauteurs, ou, ce qui revient au même, comme les tangentes des angles TSU, complémens des hauteurs SUT.
Ainsi, comme la cotangente d’un angle plus grand est moindre que celle d’un angle plus petit, plus le corps lumineux est haut, c’est-à dire plus l’angle SUT est grand, plus l’ombre diminue ; c’est pour cela que les ombres à midi sont plus longues en hiver qu’en été.
12°. Pour mesurer la hauteur de quelque objet, par exemple, d’une tour AB, fig. 14, par le moyen de son ombre projettée sur un plan horisontal ; à l’extrémité de l’ombre de la tour C enfoncez un bâton, & mesurez la longueur de l’ombre AC : enfoncez un autre bâton en terre dont la hauteur DE soit connue, & mesurez la longueur de son ombre EF ; alors dites, comme EF est à AC, ainsi DE est à AB. Si donc AC est 45 piés, EF 4 & ED 5 piés, AB sera 36 piés.
13°. L’ombre droite est à la hauteur du corps opaque, comme le cosinus de la hauteur du corps lumineux est au sinus de cette même hauteur.
14°. La hauteur du corps lumineux demeurant la même, le corps opaque AC, fig. 15, sera à l’ombre verse AD, comme l’ombre droite EB est au corps opaque DB.
Ainsi, 1o . le corps opaque est à l’ombre verse comme le co-sinus de la hauteur du corps lumineux est à son sinus ; par conséquent l’ombre verse AD est au corps opaque AD, comme le sinus de la hauteur du corps lumineux est à son co-sinus. 2o . Si DB=AC, alors DB sera une moyenne proportionnelle entre EB & AD, c’est-à-dire que la longueur du corps opaque sera moyenne proportionnelle entre son ombre droite & son ombre verse. 3o . Quand l’angle C est 45°. le sinus & le co-sinus sont égaux, & par conséquent l’ombre verse est égale à la longueur du corps opaque.
Pour trouver l’ombre d’un corps irrégulier quelconque exposé à un corps lumineux de figure quelconque, il faut imaginer de chaque point du corps lumineux une espece de pyramide ou cône de rayons qui viennent raser le corps, de maniere qu’on ait autant de pyramides qu’il y a de points dans le corps lumineux ; & l’ombre parfaite du corps sera contenue dans l’espace ou portion d’espace qui sera commune à toutes ces pyramides : car il est visible que cet espace ne recevra aucun rayon de lumiere. Toutes les autres portions d’espace qui ne recevront pas de rayons de quelques points, mais qui en recevront de quelques autres, seront dans la penombre, & cette penombre sera plus ou moins dense à différens endroits, selon qu’il tombera en ces endroits des rayons d’un moindre ou d’un plus grand nombre de points du corps lumineux. Voyez Penombre.
La théorie des ombres des corps & de leur penombre est très-utile dans l’Astronomie, pour le calcul des éclipses. Voyez Eclipse.
Les ombres droites & les ombres verses sont de quelque utilité dans l’arpentage, en ce que par leur moyen on peut assez commodément mesurer les hauteurs, soit accessibles, soit inaccessibles. On se sert des ombres droites quand l’ombre n’excede point la hauteur, & des ombres verses quand l’ombre est plus grande que la hauteur. Pour cet effet on a imaginé un instrument qu’on appelle ligne des ombres, au moyen duquel on détermine les rapports des om-
