Ainsi, en joignant le cadran occidental avec l’oriental, ces deux cadrans marqueront toutes les heures du jour.
Tracer un cadran occidental. La construction est précisément la même que celle du cadran oriental ; excepté que sa situation est renversée, & les heures écrites conformément à cette disposition.
Le cadran polaire est tracé sur un plan qu’on imagine passer par les poles du monde, & par les points de l’orient & de l’occident de l’horison. Il y en a de deux especes : ceux de la premiere espece regardent le zénith, & sont appellés polaires supérieurs ; ceux de la seconde regardent le nadir, & sont appellés polaires inférieurs.
Ainsi le cadran polaire est incliné à l’horison, avec lequel il fait un angle égal à l’élévation du pole.
Comme le plan polaire PO, QS, (figure 12.) passe par les points O & S de l’orient & de l’occident, il y a un quart de l’équateur, & de chacun des paralleles à l’équateur, intercepté entre ce plan & le méridien PHQ : donc la surface supérieure est éclairée par le soleil depuis six heures du matin jusqu’à six heures du soir ; & la surface inférieure depuis le lever du soleil jusqu’à six heures du matin ; & depuis six heures du soir jusqu’au coucher du soleil.
C’est pourquoi un cadran polaire inférieur marque les heures du matin depuis le lever du soleil jusqu’à six heures, & celles du soir depuis six heures jusqu’à son coucher ; & un cadran polaire supérieur marque les heures depuis six heures du matin jusqu’à six heures du soir.
Tracer un cadran polaire supérieur. Tirez une ligne droite AB (fig. 13.) parallele à l’horison ; & si le plan est immobile, trouvez la ligne méridienne CE : divisez CE en deux parties égales, & par C tirez une ligne droite FG parallele à AB ; ensuite du centre D, avec l’intervalle DE, décrivez un quart de cercle, & divisez-le en six parties égales : du centre D, par les différens points de division, tirez les lignes droites D1, D2, D3, D4, D5, & placez en sens contraire les intervalles E1, E2, E3, E4, E5, c’est-à-dire, E11, 10, 9, 8, & 7, des points 5, 4, 3, 2, 1, &c. élevez des perpendiculaires qui rencontrent la ligne FG aux points correspondans ; enfin élevez en D un style perpendiculaire égal à DE ; ou sur deux styles égaux à ED, placez une verge horisontale parallele à EC : les lignes 12 12, 11 11, 22, 33, &c. seront les lignes horaires.
Un cadran polaire supérieur ne differe des cadrans orientaux & occidentaux, que par sa situation, & que par la maniere d’écrire les heures.
On a un cadran polaire inférieur, en négligeant les heures d’avant midi, 9, 10, & 11, & celles d’après midi, 1, 2, & 3, avec l’heure 12 de midi ; & en ne laissant que les heures 7 & 8 du matin, & 4 & 5 du soir, qui deviendront alors les heures 7 & 8 du soir, & 4 & 5 du matin, en renversant le cadran sens-dessus-dessous.
Tracer tous les cadrans de la premiere espece sur le même corps irrégulier. 1o. Supposons que le plan ABCD, (figure 14.) dans la situation naturelle du corps, soit horisontal ; décrivez dessus un cadran horisontal, comme il a été enseigné plus haut.
2o. Tirez les lignes EM & FL, paralleles à DC, qui seront par conséquent paralleles à l’horison dans la situation naturelle du corps ; si on suppose ensuite que le plan BNMC, fasse un angle CME avec EM, égal à l’élévation du pole ; décrivez dessus un cadran polaire supérieur.
3o. Supposant que le plan opposé ADE, fasse avec EM un angle DEM, égal à l’élévation de
l’équateur ; tracez sur ce plan un cadran équinoctial supérieur.
4o. Supposant que le plan KLH, fasse avec LF un angle HLF, égal à l’élévation de l’équateur ; tracez sur ce plan un cadran équinoctial inférieur.
5o. Si le plan opposé FG, fait avec FL un angle GFL, égal à l’élévation du pole ; tracez-y un cadran polaire inférieur.
6o. Si le plan MNKL, & l’opposé EF, sont perpendiculaires à FL ; sur l’un d’eux tracez un cadran méridional, & sur l’autre un cadran septentrional.
7o. Sur le plan EMLF, décrivez un cadran occidental, & un oriental sur le plan opposé.
Nous avons expliqué plus haut & fort en détail les méthodes dont on doit se servir pour tracer ces différentes especes de cadrans.
Cela fait, si le corps est disposé de maniere que le plan MNKL regarde le midi, & que le plan du méridien le coupe en deux dans la ligne de 12 heures du cadran horisontal ABCD, & du cadran méridional MNKL ; tous ces différens plans marqueront en même tems les heures du jour.
Les cadrans secondaires, ou de la seconde espece, sont tous ceux que l’on place sur les plans de cercles différens de l’horison, du premier vertical, de l’équinoctial, & des cercles polaires ; c’est-à-dire sur des plans qui déclinent, inclinent, réclinent.
Les cadrans verticaux déclinans, sont des cadrans droits ou verticaux qui déclinent, ou qui ne regardent pas directement quelqu’un des points cardinaux.
Les cadrans déclinans sont d’un usage fort ordinaire, car les murailles des maisons sur lesquelles on trace communément les cadrans, ne sont pas directement exposées aux points cardinaux. Voyez Déclinant.
Il y a différentes especes de cadrans déclinans, qui prennent leurs noms des points cardinaux vers lesquels ils paroissent le plus tournés, mais dont ils déclinent réellement : il y en a qui déclinent du midi ou du nord, & même du zénith.
Tracer trigonométriquement un cadran vertical déclinant. 1o. La déclinaison du plan & l’élévation du pole du lieu étant donnés, voici la regle pour trouver l’angle formé au centre du cadran par la méridienne & la soûstylaire : comme le sinus total est à la tangente du complément de la hauteur du pole du lieu ; ainsi le sinus de l’angle de déclinaison du plan est à la tangente de l’angle cherché.
2o. La déclinaison du plan étant donnée, avec l’élévation du pole du lieu, voici comment on trouve l’angle formé au centre d’un cadran vertical déclinant, par la soûstylaire & l’axe.
Regle. Comme le sinus total est au sinus du complément de l’élévation du pole ; ainsi le sinus du complément de déclinaison du plan est au sinus de l’angle cherché.
3o. La déclinaison du plan & l’élévation du pole étant données, si on veut trouver l’arc de l’équateur compris entre le méridien du lieu & le méridien du plan ; voici la regle.
Comme le sinus total est au sinus de la hauteur du pole du lieu ; ainsi la tangente du complément de déclinaison du plan est à la tangente du complément de l’angle cherché, que nous appellerons pour abréger, angle de la différence des longitudes.
4o. L’angle de la différence des longitudes, & celui de l’axe avec la soûstylaire, étant donnés, on demande les angles formés au centre d’un cadran vertical déclinant, entre la soûstylaire & les lignes horaires.
Ce problème a trois cas ; car les lignes horaires dont on cherche les angles, peuvent être 1o. entre le méridien & la soûstylaire ; ou 2o. au-delà de la soûstylaire ; ou 3o. du côté du méridien où la soûstylaire
