Page:Diderot - Encyclopedie 1ere edition tome 2.djvu/833

ou la surface génératrice par le chemin parcouru par son centre de gravité. Cette méthode est renfermée dans le théorème suivant, & ses corollaires.

Toute surface plane ou courbe, ou tout solide produit par le mouvement ou d’une ligne ou d’une surface, est égal au produit de cette ligne ou surface, par le chemin du centre de gravité, c’est-à-dire par la ligne que ce centre de gravité décrit. Voyez Centre de gravité. Voici la démonstration générale que certains auteurs ont crû pouvoir donner de ce théorème.

Supposons le poids de la ligne ou surface génératrice ramassé dans son centre de gravité ; le poids total produit par son mouvement, sera égal au produit du poids mû par le chemin du centre de gravité : mais lorsque les lignes & les figures sont regardées comme des corps pesans homogenes, leurs poids sont alors entre eux comme leur volume ; & par conséquent le poids mû devient alors la ligne ou figure génératrice, & le poids produit est la grandeur engendrée : la figure engendrée est donc égale au produit de la ligne ou de la figure qui l’engendre par le chemin de son centre de gravité. Il ne faut pas être bien difficile à satisfaire en démonstration, pour se payer d’une preuve si insuffisante & si vague, qu’on trouve néanmoins dans M. Wolf, d’où Chambers a tiré une partie de cet article.

Pour mettre nos lecteurs à portée d’en trouver une meilleure preuve, considérons un levier chargé de deux poids, & imaginons un point fixe dans ce levier prolongé ou non : on sait (Voyez Centre & Levier) que la somme des produits faits de chaque poids par sa distance à ce point, est égale au produit de la somme des poids par la distance de leur centre de gravité à ce point ; donc si on fait tourner le levier autour de ce point fixe, il s’ensuit que les circonférences étant proportionnelles aux rayons, la somme des produits de chaque poids par le chemin ou circonférence qu’il décrit, est égale au produit de la somme des poids par la circonférence décrite par le centre de gravité. Cette démonstration faite par deux poids, s’applique également & facilement à tel nombre qu’on voudra.

Corollaire I. Puisqu’un parallélogramme ABCD (Pl. de Méch. fig. 26.) peut être regardé comme produit par le mouvement de la droite AB toûjours parallelement à elle-même le long d’une autre droite AC, & dans la direction de celle-ci, & que dans ce mouvement le chemin du centre de gravité est égal à la droite EF, perpendiculaire à CD, c’est-à-dire à la hauteur du parallélogramme ; son aire est donc égale au produit de la base CD, ou de la ligne qui décrit le parallélogramme par la hauteur EF. Voyez Parallélogramme.

Ce corollaire pourroit faire naître quelque soupçon sur la vérité & la généralité de la regle précédente : car on pourroit dire que la ligne CD se mouvant le long de AC, le centre de gravité de cette ligne, qui est son point de milieu, décrit une ligne égale & parallele à AC ; & qu’ainsi l’aire du parallélogramme ACDB est le produit de CD par AC : ce qui seroit faux. Mais on peut répondre que AC n’est point proprement la directrice de CD, quoique CD se meuve le long de AC ; que cette directrice est proprement la ligne EF, qui mesure la distance de AB à CD ; & que le chemin du centre de gravité par lequel il faut multiplier la ligne décrivante CD, n’est point le chemin absolu de ce centre, mais son chemin estimé dans le sens de la directrice, ou le chemin qu’il fait dans un sens perpendiculaire à la ligne décrivante. Cette remarque est nécessaire pour prevenir les paralogismes dans lesquels on pourroit tomber, en appliquant sans précaution la regle précédente à la mesure des surfaces & des solides.

Coroll. II. On prouvera de la même maniere que

la solidité de tout corps décrit par un plan qui descend toûjours parallelement à lui-même le long de la droite AC, & suivant la direction de cette droite, doit se trouver en multipliant le plan décrivant par sa hauteur. Voyez Prisme & Cylindre.

Coroll. III. Puisque le cercle se décrit par la révolution du rayon CL (fig. 27.) autour du centre C, & que le centre de gravité du rayon CL est dans son milieu F, le chemin du centre de gravité est donc ici une circonférence d’un cercle X décrit par un rayon soûdouble ; & par conséquent l’aire du cercle est égale au produit du rayon CL, par la circonférence que décriroit un rayon soûdouble de CF ; ce qu’on sait d’ailleurs. Voyez Cercle.

Corol. IV. Si un rectangle ABCD (Pl. de Méch. fig. 28.) tourne autour de son axe AD, le rectangle décrira par ce mouvement un cylindre, & le côté BC la surface de ce cylindre : mais le centre de gravité de la droite BC, est dans son milieu F ; & le centre de gravité du plan qui engendre le cylindre, est dans le milieu G de la droite EF. Ainsi le chemin de ce dernier centre de gravité est la circonférence d’un cercle décrit du rayon EG ; & celui du premier, la circonférence d’un cercle décrit du rayon EF : donc la surface du cylindre est le produit de la hauteur BC, par la circonférence d’un cercle décrit du rayon EF ; & la solidité du cylindre est le produit du rectangle ABCD, qui sert à sa génération, par la circonférence d’un cercle décrit du rayon EG soûdouble de EF, demi-diametre du cylindre. Supposons, par exemple, la hauteur du plan qui engendre le cylindre, & par conséquent celle du cylindre BC = a, le diametre de la base DC = r, on aura donc $\scriptstyle EG={\frac {1}{2}}r$ ; & supposant que le demi diametre soit à la circonférence comme 1 est à m, la circonférence décrite par le rayon $\scriptstyle {\frac {1}{2}}r$ sera $\scriptstyle ={\frac {1}{2}}mr$ ; d’où il s’ensuit que multipliant $\scriptstyle {\frac {1}{2}}mr$ par l’aire du rectangle $\scriptstyle AC=ar$, on aura la solidité du cylindre $\scriptstyle ={\frac {1}{2}}mar^{2}$ ; mais $\scriptstyle {\frac {1}{2}}mar^{2}={\frac {1}{2}}rXmrXa$ : or $\scriptstyle {\frac {1}{2}}mrr$ = l’aire du cercle décrite par le rayon EG. Il est donc évident que le cylindre est égal au produit de sa base par sa hauteur, ce qu’on sait d’ailleurs.

De même, puisque le centre de gravité de la droite AB (Pl. de Méch. fig. 17.) est dans son milieu M, & qu’on décrit la surface du cone en faisant mouvoir le triangle ABC autour d’un de ses côtés AB pris pour axe, on en peut conclurre que si $\scriptstyle PM={\frac {1}{2}}BC$, la surface du cone sera égale au produit de son côté AB par la circonférence du cercle décrit du rayon PM, c’est-à-dire d’un rayon soûdouble du demi-diametre de la base BC.

Supposons, par exemple, $\scriptstyle BC=r,AB=a$, le rayon étant à la circonférence, comme 1 est à m ; on aura donc $\scriptstyle PM={\frac {1}{2}}r$, & la circonférence décrite de ce rayon $\scriptstyle ={\frac {1}{2}}mr$ ; & ainsi multipliant $\scriptstyle {\frac {1}{2}}mr$ par le côté AB du cone, le produit qui sera $\scriptstyle {\frac {1}{2}}amr$ devra représenter la surface du cone : mais $\scriptstyle {\frac {1}{2}}amr$ est aussi le produit de 1/2 a par mr ; donc la surface du cone est le produit de la circonférence de sa base par la moitié de son côté, ce qu’on sait d’aïlleurs.

Coroll. V. Si le triangle ACB (Pl. de Méchan. fig. 29.) tourne autour d’un axe, il décrit un cone : mais si on coupe CB en deux également au point D, qu’on tire la droite AD, & que AO = 2/3 AD, il est démontré que le centre de gravité sera alors situé en O ; donc la solidité du cone est égale au produit du triangle CAB par la circonférence du cercle décrit du rayon PO. Or AD est à AO, comme BD est à OP : d’ailleurs $\scriptstyle AO={\frac {2}{3}}AD$, & $\scriptstyle DB={\frac {1}{2}}CB$, donc $\scriptstyle OP={\frac {2}{3}}DB={\frac {2}{3}}CB$. Supposons, par exemple, $\scriptstyle CB=r,AB=a$, & la raison du rayon à la circonférence celle de 1 à m, on aura donc $\scriptstyle OP={\frac {1}{3}}r$, la circonférence décrite de ce rayon $\scriptstyle ={\frac {1}{3}}mr$, le triangle $\scriptstyle ACB={\frac {1}{2}}ar$, & par conséquent la soli-