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quatrieme ; & la somme $\scriptstyle 4x+b+c+d$ de toutes ces parties sera égale à a. Retranchant $\scriptstyle b+c+d$ de part & d’autre, on aura $\scriptstyle 4x=a-b-c-d$ & $\scriptstyle x={\frac {a-b-c-d}{4}}$.

Imaginons, par exemple, qu’on propose de diviser une ligne de vingt piés en quatre parties, de maniere que l’excès de la seconde partie sur la premiere soit de 2 piés, celui de la troisieme de 3 piés, & celui de la quatrieme de 7 piés, on aura x ou $\scriptstyle {\frac {a-b-c-d}{4}}={\frac {20-2-3-7}{4}}={\frac {8}{4}}=2$, $\scriptstyle x+b=4$, $\scriptstyle x+c=5$, & $\scriptstyle x+d=9$. On peut se servir de la même méthode pour diviser une quantité donnée en un nombre quelconque de parties avec des conditions pareilles.

4°. Une personne voulant distribuer trois sous à un certain nombre de pauvres, trouve qu’il lui manque huit sous ; ainsi elle ne leur donne à chacun que deux sous, & elle a trois sous de reste. On demande combien cette personne avoit d’argent, & combien il y avoit de pauvres ? Soit x le nombre des pauvres ; & comme il s’en faut huit sous qu’ils ne puissent avoir trois sous chacun, l’argent est donc $\scriptstyle 3x+8$, dont il faut ôter 2x, & il doit rester 3 ; donc $\scriptstyle 3x-8-2x=3$ ou $\scriptstyle x=11$.

5°. Le pouvoir ou l’intensité d’un agent étant donnés, déterminer combien il faut d’agens semblables pour produire un effet donné a dans un tems donné b. Supposons que l’agent puisse produire dans le tems d l’effet c, on dira comme le tems d est au tems b, ainsi l’effet c que l’agent peut produire dans le tems d, est à l’effet qu’il peut produire dans le tems b, qui sera par conséquent $\scriptstyle {\frac {bc}{d}}$. Ensuite on dira, comme l’effet $\scriptstyle {\frac {bc}{d}}$ est à l’effet a, ainsi un des agens est à tous les agens ; donc le nombre des agens sera $\scriptstyle {\frac {ad}{bc}}$ Regle de trois.

Par exemple, si un clerc ou secrétaire transcrit quinze feuilles en huit jours de tems, on demande combien il faudra de clercs pour transcrire 405 feuilles en neuf jours ? Rép. 24. Car si on substitue 8 pour d, 15 pour c, 405 pour a, & 9 pour b, le nombre $\scriptstyle {\frac {ad}{bc}}$ deviendra $\scriptstyle {\frac {405\times 8}{9\times 15}}$, c’est-à-dire $\scriptstyle {\frac {3240}{135}}$ ou 24.

6°. Les puissances de différens agens étant données, déterminer le tems x dans lequel ils produiroient un effet donné d, étant jointes ensemble. Supposons que les puissances des agens A, B, C, soient telles que dans les tems e, f, g, ils produisent les effets a, b, c, ces agens dans le tems x produiront les effets $\scriptstyle {\frac {ax}{e}}$, $\scriptstyle {\frac {bx}{f}}$, $\scriptstyle {\frac {cx}{g}}$, on aura donc $\scriptstyle {\frac {ax}{e}}+{\frac {bx}{f}}+{\frac {cx}{g}}=d$, & $\scriptstyle x={\frac {d}{{\frac {a}{e}}+{\frac {b}{f}}+{\frac {c}{g}}}}$.

Imaginons, par exemple, que trois ouvriers finissent un certain ouvrage en différens tems. Par exemple, A une fois en trois semaines, B trois fois en huit semaines, & c cinq fois en douze semaines, on demande combien il leur faudra de tems pour finir le même ouvrage, en y travaillant tous ensemble ; les puissances des agens sont telles que dans les tems 3, 8, 12, ils produisent les effets 1, 3, 5, & on veut savoir en combien de tems ils produiroient l’effet 1, étant réunis. Au lieu de a, b, c, d, e, f, g, on écrira 1, 3, 5, 1, 3, 8, 12, & il viendra $\scriptstyle x={\frac {1}{{\frac {1}{3}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {5}{12}}}}$ ou $\scriptstyle {\frac {8}{9}}$ de semaine, c’est-à-dire six jours cinq heures & $\scriptstyle {\frac {1}{3}}$ d’heure pour le tems qu’ils mettroient à finir l’ouvrage proposé.

7°. Etant données les pesanteurs spécifiques de plusieurs choses mêlées ensemble, & la pesanteur spécifique de leur mélange, trouver la proportion

des ingrédiens dont le mélange est composé. Supposons que e soit la gravité spécifique du mélange A+B, a celle de A, & b celle de B ; comme la gravité absolue ou le poids d’un corps est en raison composée de son volume & de sa pesanteur spécifique (voy. Densité) aA sera le poids de a, & bB celui de B, & $\scriptstyle aA+bB$ sera $\scriptstyle =eA+eB$ ; donc $\scriptstyle aA-eA=eB=bB$, & $\scriptstyle a-e:e-b::B:A$.

Supposons, par exemple, que la pesanteur spécifique de l’or soit 19, celle de l’argent 10 $\scriptstyle {\frac {1}{3}}$, & celle d’une couronne composée d’or & d’argent 17, on aura $\scriptstyle A:B::e-b:a-e::7-{\frac {1}{3}}:2::20:6::10:3$ ; ce sera le rapport du volume de l’or de la couronne au volume de l’argent : & $\scriptstyle 190.31::19\times 10:10{\frac {1}{3}}\times 3::a\times {\overline {c-b}}:b\times {\overline {a-e}}$ ; ce sera le rapport du poids de l’or de la couronne au poids de l’argent : enfin 221 :31, comme le poids de la couronne est au poids de l’argent. Voyez Alliage.

Pour réduire en équations les problèmes géométriques, on remarquera d’abord que les questions géométriques ou celles qui ont pour objet la quantité continue, se mettent en équations de la même maniere que les questions arithmétiques. Ainsi la premiere regle que nous devons donner ici, est de suivre pour ces sortes de problèmes les mêmes regles que pour les problèmes numériques.

Supposons, par exemple, qu’on demande de couper une ligne droite AB (Planche d’Algeb. fig. 6.) en moyenne & extrème raison en C ; c’est-à-dire de trouver un point C, tel que BE quarré de la plus grande partie soit égal au rectangle BD fait de la ligne entiere & de sa plus petite partie.

Supposant $\scriptstyle AB=a$ & $\scriptstyle CB=x$, on aura $\scriptstyle AC=a-x$, & $\scriptstyle xx=a$ par $\scriptstyle a-x$ ; équation du second degré, qui étant résolue, comme on l’enseignera plus bas, donnera $\scriptstyle x=-{\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {5}{4}}aa}}$.

Mais il est rare que les problèmes géométriques se réduisent si facilement en équations ; leur solution dépend presque toûjours de différentes positions & relations de lignes : de sorte qu’il faut souvent un art particulier & de certaines regles pour traduire ces questions en langage algébrique. Il est vrai que ces regles sont fort difficiles à donner ; le génie est la meilleure & la plus sûre qu’on ait à suivre dans ces cas-là.

On peut cependant en donner quelques-unes, mais fort générales, pour aider ceux qui ne sont pas versés dans ces opérations : celles que nous allons donner sont principalement tirées de M. Newton.

Observons donc, 1°. que les problemes concernant les lignes qui doivent avoir un certain rapport les unes aux autres, peuvent être différemment envisagés, en supposant telles ou telles choses connues & données, & telles ou telles autres inconnues ; cependant quelles que soient les quantités que l’on prend pour connues & celles qu’on prend pour inconnues, les équations que l’on aura seront les mêmes quant au fond, & ne différeront entr’elles que par les noms qui serviront à distinguer les grandeurs connues d’avec les inconnues.

Supposons, par exemple, qu’on propose de comparer les côtés BC, BD, & la base CD (figure 7. d’Algebre) d’un triangle isoscele inscrit dans un cercle, avec le diametre de ce même cercle. On peut se proposer la question, ou en regardant le diametre comme donné, avec les côtés, & cherchant ensuite la base, ou en cherchant le diametre par le moyen de la base & des côtés supposés donnés, ou enfin en cherchant les côtés par le moyen de la base & du diametre. Or sous quelque forme qu’on se propose ce problème, les équations qui serviront à le résoudre auront toûjours la même forme.

Ainsi, supposons que l’on cherche le diametre, on