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teur commun, & écrivez-le sous la différence des numérateurs.

$\scriptstyle {\frac {3}{4}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {2}{3}}={\frac {31}{20}}-{\frac {7}{6}}={\frac {186-140}{120}}={\frac {46}{120}}={\frac {23}{60}}.$

(+) On voit par cette opération que lorsqu’il s’agit d’additionner & de soustraire des fractions, on peut les réduire à la même dénomination par la premiere regle générale, sans s’embarrasser si les dénominateurs ont un commun diviseur, ou non ; il suffira de réduire à la plus simple expression la fraction unique qui sera le résultat de la derniere opération. En effet qu’on ait, par exemple, $\scriptstyle {\frac {ah}{ge}}$ à ajoûter avec $\scriptstyle {\frac {cf}{gk}}$, on peut écrire indifféremment $\scriptstyle {\frac {ahk+cfe}{gek}}$, après avoir réduit au même dénominateur par la seconde regle, ou en réduisant au même dénominateur par la premiere regle $\scriptstyle {\frac {ahgk+cfge}{ggek}}={\frac {ahk+cfe}{gek}}$, en réduisant & divisant le haut & le bas par g.

XV. Multiplication & division. Nommant premiere fraction celle qui représente le multiplicande ou le dividende, & seconde fraction celle qui représente le multiplicateur ou le diviseur, multipliez terme-à-terme la premiere fraction par la seconde, directe s’il s’agit de multiplication, & renversée s’il s’agit de division.

Le produit de $\scriptstyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}$ est $\scriptstyle {\frac {ac}{bd}}$.

Le quotient de $\scriptstyle {\frac {a}{b}}$ divisé par $\scriptstyle {\frac {c}{d}}$ est $\scriptstyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$.

Pour le démontrer, soit $\scriptstyle {\frac {a}{b}}=p$, d’où $\scriptstyle a=bp$ ; & $\scriptstyle cd=q$ d’où $\scriptstyle c={\frac {d}{q}}$… Il faut faire voir que $\scriptstyle {\frac {ac}{bd}}=pq$ & que $\scriptstyle {\frac {ad}{bc}}={\frac {p}{q}}$.

Or, que dans le premier membre de ces deux dernieres égalités, au lieu de a & de c, on substitue leurs valeurs bp & dq, on aura

$\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\\\end{matrix}}\right.$	d’une part	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\end{matrix}}\right.\scriptstyle {\frac {bpdq}{bd}}=pq\times {\frac {bd}{bd}}=pq$.
	de l’autre	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\end{matrix}}\right.\scriptstyle {\frac {bpd}{bdq}}={\frac {p}{q}}\times {\frac {bd}{bd}}={\frac {p}{q}}$.

XVI. Si, pour la division on a préféré le renversement de la fraction qui représente le diviseur à la pratique usitée de multiplier en croix, qui au fond est la même chose ; c’est que la regle présentée sous ce point de vûe rend plus sensiblement raison d’une espece de paradoxe qui a coûtume de frapper les commençans. Il arrive souvent dans la multiplication des fractions que le produit est plus petit que le multiplicande, & au contraire dans leur division, que le quotient est plus grand que le dividende ; & cela ne peut manquer d’arriver toutes les fois que la fraction qui représente le multiplicateur ou le diviseur est plus petite que l’unité ; car alors son numérateur est plus petit que son dénominateur. Quand donc la fraction reste directe dans la multiplication, c’est le plus petit terme qui multiplie la premiere fraction, tandis que le plus grand la divise : cette premiere fraction doit donc être plus diminuée qu’augmentée, & devenir plus petite. Quand au contraire la fraction se renverse dans la division, c’est le plus grand terme qui multiplie la premiere fraction, tandis que le plus petit la divise ; elle gagne donc plus qu’elle ne perd, & doit devenir plus grande.

XVII. Soit $\scriptstyle {\frac {a}{c}}$ à diviser par $\scriptstyle {\frac {b}{c}}$, le quotient sera $\scriptstyle {\frac {a}{c}}\times {\frac {c}{b}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{c}}={\frac {a}{b}}$. Ce qui fait voir que quand le dividende & le diviseur ont un dénominateur commun, on peut négliger celui-ci, & prendre pour quotient des deux fractions celui même de leurs numérateurs.

(+) On peut voir au mot Division des remar-

ques sur la division des fractions les unes par les autres, ou des entiers par des fractions ; on y a expliqué très-clairement & à priori pourquoi un nombre quelconque divisé par une fraction, donne un quotient plus grand que lui. On a vû aussi au mot Exposant, comment la fraction $\scriptstyle a^{\frac {1}{n}}$ se change en $\scriptstyle a^{-n}$.

(+) On a prouvé au mot Diviseur (voyez ce mot, & l’addition qu’on y a faite dans l’errata du cinquieme Volume), que si deux nombres a, b, n’ont aucun diviseur commun, & que deux autres nombres c, d, n’ayent aucun diviseur commun entr’eux, ni avec les deux premiers ; alors dans le produit $\scriptstyle {\frac {ac}{bd}}$ des fractions $\scriptstyle {\frac {a}{b}},~{\frac {c}{d}}$, ac & bd n’auront aucun diviseur commun. De-là il s’ensuit que si $\scriptstyle {\frac {a}{b}}$ est une fraction réduite à ses moindres termes ; $\scriptstyle {\frac {aa}{bb}}~,{\frac {a^{3}}{b^{3}}}$ & en général $\scriptstyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}$ sera aussi une fraction réduite à ses moindres termes. Donc une fraction, soit pure, soit mixte, élevée à une puissance quelconque, donne toûjours une fraction ; donc un nombre entier qui n’a point pour racine quarrée, cubique, &c. un nombre entier, ne sauroit avoir une fraction (même mixte) pour racine ; donc la racine d’un tel nombre est incommensurable. Voyez Incommensurable.

XVII. C’est à la multiplication qu’on doit rappeller la réduction des fractions de fraction, & non à la division, comme au 1^er coup-d’œil on pourroit être tenté de le croire. Prendre en effet les $\scriptstyle {\frac {2}{3}}$ de $\scriptstyle {\frac {3}{4}}$, n’est-ce pas, ce me semble, diviser $\scriptstyle {\frac {3}{4}}$ par $\scriptstyle {\frac {2}{3}}$ ? Non, c’est au contraire le multiplier, & l’on va en convenir. Si l’on n’avoit à prendre que le tiers de $\scriptstyle {\frac {3}{4}}$, il faudroit (n°. VII.) multiplier le dénominateur par 3 pour avoir $\scriptstyle {\frac {3}{12}}$ ; mais c’est les deux tiers qu’il s’agit de prendre. Il faut donc doubler ce qu’on a trouvé, c’est-à-dire (ibidem.) multiplier le numérateur par 2. La seconde fraction $\scriptstyle {\frac {2}{3}}$ reste donc directe dans l’opération, ce qui (n°. XV.) détermine celle-ci à être une multiplication. Donc $\scriptstyle {\frac {2}{3}}$ de $\scriptstyle {\frac {3}{4}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}$.

Il suit qu’ayant un nombre quelconque de fractions de fraction, pourvû que ce qui étoit numérateur reste numérateur, & que ce qui étoit dénominateur reste dénominateur, on peut d’ailleurs transposer entr’elles les fractions, & échanger leurs termes comme on voudra, sans que la valeur de la suite en soit altérée, puisque les deux termes de la fraction qui l’exprimera seront toûjours formés respectivement des mêmes facteurs.

Les $\scriptstyle {\frac {2}{3}}$ de $\scriptstyle {\frac {3}{4}}$ de $\scriptstyle {\frac {4}{5}}$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right\}$	$\scriptstyle {\frac {2\times 3\times 4}{3\times 4\times 5}}={\frac {2}{5}}.$
Les $\scriptstyle {\frac {3}{4}}$ de $\scriptstyle {\frac {4}{5}}$ de $\scriptstyle {\frac {2}{3}}$
Les $\scriptstyle {\frac {2}{3}}$ de $\scriptstyle {\frac {4}{5}}$ de $\scriptstyle {\frac {3}{4}}$

XIX. Elévation & extraction. Faites séparément sur les deux termes de la fraction celle des deux opérations qu’exige la circonstance, & elle se trouvera faite sur la fraction elle-même.

$\scriptstyle {\frac {a}{b}}{\big |}^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}{\text{.....}}{\sqrt[{n}]{{\frac {a}{b}}{\big |}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

(+) XX. Fractions décimales. On a traité cette matiere au mot Décimal, auquel nous renvoyons. Nous remarquerons seulement qu’au lieu du point dont nous avons parlé dans cet article, & qui sert à distinguer les parties décimales des entiers, quelques auteurs se servent d’une virgule ; ce qui revient au même, & ce qui est quelquefois plus commode, lorsqu’il est à craindre que le point ne soit pris pour un signe de multiplication. D’autres ont employé une autre maniere, mais moins commode : par exemple, pour désigner 3.0206, c’est-à-dire quatre parties décimales, ou ce qui revient au mê-