L’Encyclopédie/1re édition/INCOMMENSURABLE

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Briasson, David l’aîné, Le Breton, Durand (Tome 8p. 652-653).

INCOMMENSURABLE, adj. (terme de Géométrie.) il se dit de deux quantités qui n’ont point de mesure commune, quelque petite qu’elle soit, pour mesurer l’une & l’autre. Voyez Commensurable, Sourd & Irrationnel.

Le côté d’un quarré est incommensurable avec sa diagonale, comme le démontre Euclides ; mais il est commensurable en puissance, parce que le quarré de la diagonale contient deux fois le quarré fait sur le côté.

On dit aussi que des surfaces sont incommensurables en puissance, lorsqu’elles ne peuvent être mesurées par aucune surface commune. (E)

On a démontré aux mots Fraction & Diviseur, que si deux nombres a, b, n’ont point de diviseur commun, autre que l’unité, leurs quarrés aa, bb, leurs cubes a3, b3, &c. & ainsi du reste, n’auront point de diviseur commun, autre que l’unité ; d’où il s’ensuit que le quarré, le cube, &c. d’une fraction est toujours une fraction ; j’entends ici par fraction toute quantité dans laquelle a ne se peut diviser exactement par b ; soit que a soit plus petit ou plus grand que b : donc tout nombre entier, comme 2, 3, 5, 6, &c. qui ne sauroit avoir pour racine quarrée un nombre entier, ne sauroit avoir pour racine quarrée un entier, plus une fraction ; donc on ne sauroit exprimer en nombre la racine quarrée de ces sortes de nombres ; ainsi la racine quarrée de 2, par exemple, est incommensurable à l’unité ; & en général on appelle incommensurable la racine du dégré m de tout nombre entier p, dont on ne peut trouver la racine du dégré m en nombres entiers ; car il est démontré que cette racine ne sauroit être exprimée par quelque nombre que ce puisse être.

A plus forte raison, les racines des incommensurables sont incommensurables, comme le seroit, par exemple, la racine de la racine de 2.

Il y a cette différence entre les incommensurables & les imaginaires, 1°. que les incommensurables peuvent se représenter par des lignes, (comme la diagonale du quarré), quoiqu’ils ne puissent s’exprimer exactement par des nombres ; au lieu que les imaginaires ne peuvent ni se représenter, ni s’exprimer. Voyez Imaginaire. 2°. Qu’on approche des incommensurables autant qu’on veut par le calcul ; voyez Approximation, ce qu’on ne peut faire des imaginaires, voyez Equation. (O)