rectangle formé sur deux de ces lignes ainsi tirées d’un même point, ait un rapport donné avec le quarré de la troisième, s’il n’y en a que trois ; ou bien avec le rectangle des deux autres, s’il y en a quatre, &c. Mais ce qui appartient absolument à Descartes, & ce qui lui fera un honneur immortel, c’est d’avoir appliqué l’Algèbre à la théorie des lignes courbes. Il regarde une courbe comme engendrée par les extrémités d’une suite de lignes variables, qui répond à d’autres lignes variables ; &, après avoir formé une équation qui exprime la loi suivant laquelle ces deux suites de lignes varient les unes par rapport aux autres, il construit la courbe ; il suit sa marche dans l’espace ; il détermine ses tangentes, ses perpendiculaires, & en général toutes les affections qui la caractérisent. Cette méthode réunit sous un même point de vue la simplicité & la généralité. Ainsi, par exemple, une même équation du second degré, entre l’abscisse & l’ordonnée combinées avec des quantités constantes, peut représenter, en général, la nature des trois sections coniques ; ensuite les valeurs & les rapports des quantités constantes déterminent l’équation à exprimer, dans les cas particuliers, une parabole, une ellipse ou une hyperbole.
On doit encore à Descartes la manière d’envisager & de construire les courbes à double courbure, en les projettant sur deux plans perpendiculaires entr’eux, où elles forment des courbes ordinaires, qui ont une abscisse & une ordonnée communes.
De tous les problêmes qu’il résout dans sa Géométrie, aucun ne lui fit autant de plaisir, comme il le dit lui-même, que sa méthode pour mener les tangentes à une courbe. Cette méthode donne les tangentes par le moyen des perpendiculaires aux points de contingence. L’Auteur feint que, d’un point quelconque, pris sur l’axe de la courbe, on décrive un cercle lequel coupe la courbe au moins en deux points ; il cherche l’équation qui exprime les lieux des intersections ; il suppose ensuite que le rayon du cercle diminue jusqu’à ce que deux intersections voisines viennent à coïncider : alors les deux rayons correspondans n’en forment qu’un seul qui est perpendiculaire à la courbe ; & la question est réduite à former, d’après ces élémens, une équation qui contienne deux racines égales. Dans la suite, Descartes proposa une autre méthode pour les tangentes : il prend ici hors de la courbe, & sur le prolongement de son axe, un point autour duquel il fait tourner une ligne droite qui coupe la courbe au moins en deux points ; il fait coïncider les deux points d’intersection, en assujettissant, comme tout-à-l’heure, l’équation des intersections à contenir deux racines égales. On voit que les deux méthodes sont fondées sur le même principe ; elles sont l’une
