& l’autre fort ingénieuses, quoique bien moins simples & moins directes que celle du calcul différentiel.
Fermat avoit trouvé, avant que la Géométrie de Descartes parût, sa méthode pour déterminer les maxima & les minima dans les quantités qui croissent d’abord, puis décroissent ; ou qui commencent à diminuer, puis viennent à augmenter. Elle porte sur cette remarque, qu’en deçà & en delà du point de maximum ou de minimum, il y a deux grandeurs égales : Fermat cherche les expressions de ces grandeurs, il les-égale entr’elles ; &, supposant ensuite que l’intervalle des deux grandeurs est infiniment petit, il trouve une équation qui donne le maximum ou le minimum. On détermine facilement, par ce moyen, les tangentes des courbes, en considérant une tangente comme une sécante, & en faisant évanouir l’intervalle compris entre les deux ordonnées qui répondent aux deux points d’intersections. Ce même principe est, comme on voit, la base du calcul différentiel que Fermat n’a pas cependant trouvé, parce qu’il falloit de plus soumettre la méthode à un algorithme de calcul régulier & débarrassé de toutes les opérations superflues.
Nous rapportons à la Géométrie mixte plusieurs ouvrages qui parurent dans le dernier siècle, avant la naissance des calculs différentiel & intégral : non pas que les méthodes qu’on y emploie soient toutes fondées sur le calcul algébrique, mais parce qu’elles sont toujours au moins dirigées par l’esprit de ce calcul.
Cavalleri, né en 1598, mort en 1647. Un des plus originaux est la Géométrie des indivisibles de Cavalleri. La méthode des anciens pour déterminer les surfaces & les solidités des corps, avoit l’inconvénient d’exiger plusieurs détours : il falloit inscrire & circonscrire des polygones à une figure, & chercher la limite du rapport entre le dernier polygone inscrit & le dernier polygone circonscrit. Cavalleri marche plus directement au but : il regarde les plans comme formés par des sommes infinies de lignes, les solides, par des sommes infinies de plans ; & il prend pour principe que les rapports de ces sommes infinies de lignes ou de plans sont les mêmes que ceux des plans ou des solides. Cette nouvelle Théorie donne sans peine non-seulement les problêmes de l’ancienne Géométrie, qui sont de nature à y être soumis, mais encore plusieurs autres d’un genre plus difficile.
Il paroît que la méthode des indivisibles, sur laquelle la Géométrie de Cavalleri est fondée, n’étoit pas inconnue en France, quand cet ouvrage parut : Roberval, né en 1602, mort en 1675. car, un peu avant cette époque, Roberval avoit employé une semblable méthode pour déterminer l’aire de la cycloïde & les solides qu’elle engendre en tournant, soit autour de sa base, soit autour du diamètre de son cercle générateur.
