Le commercium epistolicum contient d’abord, à dater de l’année 1669, plusieurs belles découvertes Analytiques de Neuton. Dans la pièce intitulée : de Analysi per equationes numero terminorum infinitas, outre la méthode pour résoudre les équations par approximation, dont il ne s’agit pas ici, Neuton enseigne à quarrer les courbes qui ont, pour ordonnées, des expressions monomes, ou l’assemblage de plusieurs monomes ; & lorsque les ordonnées sont des radicaux complexes, il ramène la question au premier cas, en développant l’ordonnée en une suite infinie de termes simples, au moyen de la formule du binome, ce que personne n’avoit fait encore. Sluze & Grégori avoient trouvé, chacun de leur côté, une méthode pour les tangentes : Neuton, dans une lettre à Collins, en date du 10 Décembre 1672, prouve qu’il l’avoit aussi trouvée : il l’applique à un exemple, sans y ajouter la démonstration : il dit ensuite qu’elle n’est qu’un corollaire d’une autre méthode générale qu’il a pour mener les tangentes, quarrer les courbes, trouver leurs longueurs & leurs centres de gravité, &c, sans être arrêté par les quantités radicales, comme Hudde l’est dans sa méthode pour les maxima & les minima. Les Anglois voyent clairement la méthode des fluxions dans ces deux écrits de Neuton ; mais les Géomètres des autres Nations ne pensent pas tout-à fait de même. En convenant que le développement des radicaux en séries est un pas considérable que Neuton a fait, ils ne peuvent s’empêcher de reconnoître d’ailleurs, que les méthodes de Fermat, de Wallis & de Barrow, pouvoient servir à trouver les résultats concernant les quadratures des courbes, que Neuton se contente de donner, sans indiquer la marche qui l’y a conduit. Ils avouent que les deux pièces dont il s’agit, contiennent une indication vague de la méthode des fluxions ; indication peut-être suffisante pour montrer que Neuton possedoit alors les premiers principes de cette méthode, mais trop obscure pour en donner l’intelligence au lecteur. Et ce qui rend cette conjecture très-vraisemblable, c’est qu’Oldenbourg, Secrétaire de la Société Royale, envoyant (10 Juillet 1673) à Sluze, un exemplaire de la méthode de celui-ci pour les tangentes qu’on avoit imprimée à Londres, rapporte un fragment de lettre de Neuton, où après avoir dit que cette méthode appartient bien véritablement à Sluze, Neuton poursuit ainsi : quant aux méthodes (il entend celle de Sluze & la sienne propre), elles sont les mêmes, quoique je les croye tirées de principes différens. Je ne sais cependant si les Principes de M. Sluze sont aussi féconds que les miens, qui s’étendent aux équations affectées de termes irrationnels, sans qu’il soit nécessaire d’en changer la forme. Auroit-il parlé avec tant de réserve,
