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Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΔΒ, καὶ συνεστώτω τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΖΘ, ἐν τῇ ὑπὸ ΘΚΖ γωνίᾳ, ἡ ἴση ἐστὶΑ τῇ ΒΕ. καὶ παραξεδλήσθω παρὰ τὴν ΘΗ͂ εὐθεῖαν τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΜ, ἐν τῇ ὑπὸ ΗΘΜ γωνίᾳ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Ἐ. |
Jungatur enim AB, et constituatur ipsi ABÁ triangulo æquale parallelogràmmum Ze, in eKz angulo, qui æqualis est ipsi E ; et applicetur ad eH rectam ipsi ABΓ triangulo æquale parallelo- grammum HM, in HΘM angule, qui est æqualis ipsi E. |
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Καὶ ἐπεὶ ἡ Ε γωνία ἐκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΘΚΖ, ΗΘΜ ἐστὶν ἴση. καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΖ ἄραϑ τῇ ὑπὸ ΗΘΜ ἐστὶν ἴσηθ͵, Κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΚΘΗ. αἱ ἄρα ὑπὸ ΖΚΘ, ΚΘΗ ταῖς ὑπὸ ΚΘΗ, ΗΘΜ ἴσαι εἰσίν. Αλλ᾽ αἱ ὑπὸ ΖΚΘ, ΚΘΗ͂ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. καὶ αἱ ὑπὸ ΚΘΗ͂, ΗΘΜ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. Πρὸς δὴ τινι εὐθείᾳ τῇ ΗΘ, καὶ τῷ πρὸς αυὐτῇ σημείῳ τῷἔα Θ, Ἠ διὐο εὐθεῖαι αἱ ΘΚ, ΘΜ, μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι, τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν. {π᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΘΜ. Καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΚΜ, ΖΗ εὐθεζα7 ἐνέπεσεν ἡ ΘΗ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΖ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί. Κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΘΗΛ. αἱ ἄρα ὑπὸ ΜΘΗ͂, ΘΗΛ ταῖς ὑπὸ ΘΗΖ, ΘΗΛ ἴσαι εἰσίν. Αλλ αἱ ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΛ δυσὶν |
Et quoniam E angulus utrique ipsoarum eEKz, HΘM est æqualis ; et ΘKZ igitur ipsi HΘM est æ- qualis. Communis addatur KEH ; ergo ZKe, KH, ipsis KH, HΘOM æquales sunt. SedZKe, KeH duo- bus rectis æquales sunt ; et KKH, HΘM igitur duo- bus rectis æquales sunt. Ádaliquam igitur rectam H$, etad punctum in eà G, duæ rectem eK, oM, non ad easdem partes positæ, deinceps angulos duobus rectis æqualesfaciunt ; indirectum igitur est KAX ipsi eM. Et quoniam in parallelas KM, ZH recta incidit eH, alterni anguli M8HH, AHZ æquales inter seé sunt. Communis addatur eHΔ ; ergo MBHH, HHΔ ipsis eHZ, HHΔ æquales sunt. Sed MBHH, , ÀHÁ duobus rectis æquales sunt ; et eHz, eBHΔ igitur duobus rectis æquales sunt ; in directum igitur est ZH ipsi HΔ. Et quoniam KZ |
Joignons ΔΒ, et construisons dans Pangle erz égal à l’angle E, le parallélogramme zΘ égal au triangle ΑΒΔ (42) , et à la droite ΗΘ appliquons dans l’angle ΗΘΜ égal à l’angle Ε, le parallélogramme HM égal au triangle APT.
Puisque l’angle Ε est égal à chacun des angles ΘΚΖ, ΗΘΜ, lʼangle ΘΚΖ est égal à langle ΗΘΜΖ ; ajoutons-leur l’angle commun ΚΘΗ͂ ; les angles ΖΚΘ, ΚΘΗ seront égaux aux angles koH, ΗΘΜ. Mais les angles ZôΘ, ΚΘῊΗ sont égaux à deux droits (20) ; donc les angles kÈH, ΗΘΜ sont égaux à deux droits. Donc les deux droites ΘΚ, ΘΜ, non placées du même côté, font avec la droite HΘ, et au point de cette droite, deux angles de suite égaux à deux droits ; donc la droite ΚΘ est dans la direction de la droite ΘΜΗ (14) . Et puisque la droite H tombe sur les parallèles kKM, ZH, les angles alternes ΜΘΗ, ΘΗΖ sont égaux entr’eux (20) . Ajoutons-leur l’angle commun ΘΗΔ ; les angles mo_n, ΘΗΛ seront égaux aux angles ΘΗΖζΖ, ΘΗΛ. Mais les angles MOH, ΘΗΔ sont égaux à deux droits (20) ; donc les angles nz, ΘΗΛ sont aussi égaux à deux
