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πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει. καὶ ἐὰν πρὰς ὀρθὰς αὐ. τὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτηὴν τέμνει. |
et ad rectos ipsam : seccat ; et si eam ad rec- tos secet, et bifariam ipsam secat. |
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Εστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ εν αὐτῷ εὐθεῖα τις διὰ τοῦ κέντῤου ἡ ΓΔ εὐθεῖάν τινὰ μὴ διὰ τοῦ κέντρου τήν ΑΒ δῖχα τεμνέτω κατὰ τὸ Ζ σημεῖον. λέγω ὁτι καὶ πρὸς ορθὰς αὐτὴν τέμνει. |
Sit circulus ABΓ, et in ipso recta aliqua ΓΔ per centrum, rectam aliquam AB non per cen- trum bifariam secet in Z puneto ; dico et ad rectes ipsam secace. |
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Εἰληήφθω γαρ το χέεντρὸν τοὺ ΑΒΓ κυκλου, καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕΑ, ΕΒ. |
Sumatur enim centrum ABHΓ circuli, et sit E, et jungantur EΔ, EB. |
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Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ Ζβ, κοιγὴ δὲ ἡ ΖΕ, δύο δὴ1 δυσὶν ἴσαι εἰσὶ, καὶ βάσις ἡ ΕΑ, βασει τῃ ΕΒ ἴση, γωνία ἄρα3 ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γω- νίᾳα τῇ ὑπὸ ΕΖΒ ἴση ἐστίν. Οταν δὲ εὐθεῖα ἐπ θυθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήη- λαις ποιΐ, ὀρθή ἐκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστίν. ὀρθη ἀρὰ ἐστίν ἐκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΖΕ. ΒΖΕΊ. Η͂ ΓΔ ἀρὰ διεὰ τοῦ κέντρου οὖσα3 τὴν ΑΒ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὐσαν δίχα τέμνουσα, καὶ πρὸς ὀρ- θὰς αὐτὴνϑ τέμνει. |
Et quoniam æqualis est AZ ipsi ZB, commu- nis autem ZE, duæ utique duabus æquales sunt, et basis EA basi EB æqualis ; angulus igitur AZE angulo EZB æqualis est. Quando autem recta super rectam insistens deinceps angulos æ- quales inter se facit, rectus ulerque æqualium angulorum est ; rectus igitur est uterque ipsorum AZE, BZE. Ergo ΓAΔ per centrum ducta ip- sam AB non per centrum ductam bifariam se- canus, et ad rectos ipsam secat. |
droits ; et si elle la coupe à angles droits, elle-la coupera en deux parties égales.
Soit le cercle ABΓ ; que dans ce cercle, la droite ΓΔ menée par le centre coupe en deux parties égales au point z la droite ΑΒ non monée par le centre ; je dis qu’elle la coupe à angles droits.
Prenons le centre du cercle ΑΒΓ (1. 3) ; qu’il soit B, et joignons EA, EB.
Puisque ΑΖ est égal à ΖΒ, et que la droite ZB est commune, deux droites sont égales à deux droitès ; mais la base ΕΑ est égale à la base EB ; donc l’angle AZE est égal à l’angle ΕΖΒ (3. 1) . Mais lorsqu’une droite tombant sur une autre droite fait les angles de suite égaux entreux, chacun des angles égaux est droit ; donc chacun des angles ΑΖΕ, ΒΖΕ est droit. Donc la droite ΓΔ, menée par le centre, et qui coupe en deux parties égales la droite ΑΒ non menée par le centre, coupe aussi cette droite à angles droits.
