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Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΕΔ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΜΝ. Πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὲν ἡ μὲν ΑἙ τῇ ΕΜ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΝ, ἡ ἄρα ΒΔ ταῖς ΜΕ, ΕΝ ἴση ἐστίν. Αλλ αἱ ΜΕ, ΕΝ τῆς ΜΝ μείζονές εἰσι, καὶ ἡ ΑΔ ἄραΊ τῆς ΜΝ μμεΙζων ἐστίν. Ιση δὲ ἡ ΜΝ τῇΒΓ, ἡ ΑΔ ἄρὰ τῆς ΒΓ μείζων ἐστί. Καὶ ἐπεὶ δΦύο. αἱ ΜΕ, ΕΝ δυσὶ τωαῖς ΖΈ, ΕΗ ἴσαι εἰσὶ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΕΝ, γωνίας τῆς ὑπὸ ΖΕΗ͂ μείζων". βασις ἄρα ἡ ΜΝ βασεως τῆς ΖΗ͂ μείζων ἐστίν. Αλλὰ ἡ ΜΝ τῆ ΒΓ ἐδείχθη ἴση, καὶ ἡ ΒΓ τῆς 2Η μείζων ἐστίν. Μεγίστη μὲνῦ ἄρα ἡ ΑΔ διάμετρος, μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΖΗ. "ν καύ- κλῳ ἄρὰ ; καὶ τὰ ἐζῆς. |
Et quoniam æqualis est EG ipsi EA, æqualis est. et BΓ ipsi MN : Rursus, quoniam æqualis est quidem AE ipsi EM, et EΔ ipsi EN, ergo EΔ ipsis ME, EN æqualis est. Sed ME, EN ipsáà MN majores suut, et AΔ ipsà MN major est. Jqualis àutem MN ipsi BΓ, ergo AΔ ipsá BΓ major est. Et quoniam du ; æ ME, EN duabus ZE, EH æquales sunt, et angulus MEN angulo ZEH major ; basis igitue MN basi ZH rnajor est. Sed MN ipsiBΓÀ ostensa est æÀqualis, ct BΓ ipsá ZH major est. Maxima quidem igitur AΔ diameter, major vero BΓ ipsà ZH. In circulo igitur, etc. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιϛʹ. | PROPROSITIO XVI. |
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Ἡ τῇ διαμετρῷ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰᾶὰς ἀπ ακρας αγομενη εκτος πεσείται τοῦ κυκλου καὶ εἰς του μετάξυ τοπονρ Τῆς ΤΕε ευθειας κα Τῆς ’περιφε- ρεια, ς ἐΤἓΡὥ ευθεια, ου παρεμπεσειται πα ἡ μεν του υμικωελιου γῶώνία απασῆς γωνιᾶς οξειας ξυ- Θυγρ : ιμμου με : ζων ἐστίν" ἢ δὲ λοιπΉ ἐλάττων. |
Recta diametro circuli ad rectos ab extremi- tate ducta extra cadet circulum ; et in locum inter et rectam et circumferentiam altera recta non cadet ; et quidem semicirculi angulus quo- vis angulo acuto rectilineo major est ; reliquus vero minor. |
Puisque EΘ est égal à EA, la droite ΒΓ est égale à MN (14. 3) . De plus, puisque AE est égal à EM, et ΕΔ égal à EN, la droite ΑΔ est égale aux droites ME, EN. Mais les droites ME, EN sont plus grandes que MN ; donc as est plus grand que MN. Mais MN est égal à BΓ ; donc ΑΔ est plus grand que BΓ. Et puisque les deux droites MBE, EN sont égales aux deux droites ZE, EH, et que l’angle MEN est plus grand que l’angle ΖΕΗ͂, la base MN est plus grande que la base ZH (24- 1) Mais on a démontré que MN est égal à BΓ ; donc ΒΓ est plus grand que ZH. Donc le diamètre ΑΔ est la plus grande de toutes les droites, et BΓ est plus grand que ZH. Donc, etc.
Une perpendiculaire au diamètre d’un cercle et menée de l’une de ses extrémités, tombe hors de ce cercle ; dans l’espace compris entre cette perpendiculaire et la circonférence, on ne peut pas mener une autre droite ; et l’angle du demi-cercle est plus grand, et l’angle restant est plus petit qu’aucun angle rectiligne aigu.
