| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λ΄. | PROPOSIIIO XXX. |
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Τὴν δοθεῖσαν περιφέρειαν δίχα τεμεῖν ! , |
Datam circonferentiam bifariam secare. |
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Εστω ἡ δοθεῖσα περιφέρεια ἡ ΑΔΒ. δεῖ δὴ τὴν ΑΔΒ περιφέρειαν δίχα τεμεῖν3, |
Sit data cireumferentia AΔB ; oportet igitur AΔB circumferentiam bifariam secare. |
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Επεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ, |
Jungatur AB, et secetur bifariam in Γ, et a Γ puncto ipsi AB rectæ ad rectos ducatur ΓB, ct jungantur AΔ, AB. |
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Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, κοινή δὲ ἡ ΓΔ. ὅὐο δὴ αἱ ΑΓ, ΓΔ δυσὶ ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσί. Καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση, ὀρθή γὰρ κατερα. βάσις ἄρα3 ἡ ΑΔ βασει τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν. Αἱ δὲ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περι- φερείας ἀφαιροῦσι, τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι, τήν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι" καὶ ἔστιν ἐκατέρα. τῶν ΑΔ, ΔΒ πσεριφερεεῶν ἐλαττων ἡμικυκλίου ἴση ἄρα ἡ ΑΔ περιφέρεια τῇ ΔΒ περιφερείᾳ. |
Et quoniam æqualis est AΓ ipsi ΓB, com- munis autem ΓΔ ; duæ igitur AΓ, ΓWT duabus BΓ, ΓΔ æquales sunt. Et angulus AΓΔ angulo BΓΔ æqualis, rectus enim uterque ; basis igitur AΔ basi AB æqualis est. Jquales : autem reciæ ; æquales circumferentias auferunt, majorem qui- dem. majori, minorem vero minori ; et est utra- que ipsarum AΔ, A&B circumferentiarum minor semicirculo ; æqualis igitur AΔ circumferentia ipsi AB circumferentiæ. |
Couper un arc donné en deux parties égales.
Soit ΑΔΒ l’arc donné ; il faut couper l’arc ΑΔΒ en deux parties égales. ;
Joignons la droite ΑΒ, et coupons-la en deux parties égales en Γ (10. 1) ; du point Γ menons ΓΔ perpendiculaire à la droite ΑΒ (I1. 3) , et joignons ΑΔ, , ôB.
Puisque ΑΓ est égal à ΓΒ, et que la droite ΓΔ est commune, les deux droites AÏ, ΓΔ sont égales aux deux droites BΓ, ΓΔ. Mais l’angle ΑΓΔ est égal à l’angle ΒΓΔ ; car ils sont droits l’un et l’autre ; donc la base ΑΔ est égale à la base ΔB (4. 1) - Mais des droites égales soutendent des arcs égaux, le plus grand étant égal au plus grand, et le plus petit égal au plus petit (23. 3) , et lʼun et l’autre des arcs AB, ΔΒ est plus petit que la demi-circonférence ; donc l’arc ΑΔ est égal à l’arc ΔΒ.
