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ἐν τῷ ΑΒΓ μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γω- νία, ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, ἐλάττων ὀρθῆς. ἡ δὲ ἐν τῷ ΑΔΓ ἐλάττονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΓίέ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. |
ABΓ majore semicirculo segmento angulum Abc minorem recto ; ipsum vero in AΔΓ minoren semicirculo segmento angulum AAΓ mmzjorem esse recto. |
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Επεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ διήχθω ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Ζ. |
Jungatur AE, et producatur BΔ ad Z. |
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Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΒΕΑ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ. Πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡΓΕ τῇ ΒΑ, ἴση ἐστὶ καὶϑ ἡ ὑπὸ ΑΓἔ τῇ ὑπὸ |
Et quoniam æqualis est BE ipsi EA, æquali est et angulus ABE, ipsi BAE. Rursus, quoniam æqualis est ΓPE ipsiEA, æqualis est et AΓE ipsi |
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ΓΑὈὈ ὅλη ἄρα ἭἪ ὑπὸ ΒΑΓ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν. Εστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΓ ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαις ἴση. ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑΙ, ὀρθὴ ἄρα ἐκατέρα. ἡ ἄρα ἐν τῷ ΒΑΓΓ ἡμικυκλίῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθη ἐστι. |
ΓAE ; totus igitur BAΓ duobus ABΓ, AΓB æqu lis est. Est autem et ipse ZAΓ, extra ABΓ triangu- lum, duobus ABΓ, AΓB angulis æqualis ; Àqualis igitur et BAΓ angulus ipsi ZAΓ ; recus igitur uterque ; ipse igitur in BAΓ semicirculo angulus BAΓ rectus est. |
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Καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ δύο ὀρθὼν ἐλάττονές εἰσιν, ὀρθὴ |
Et quoniam ABΓ trianguli duo anguli ARΓ, BAΓ duobus rectis minores sunt, rectus autem |
que l’angle ABΓ placé dans le segment ΑΒΓ plus grand que le demi-cercle ABΓ est plus petit qu’un droit, et que l’angle ΑΔΓ placé dans le segment ABΓ plus petit que le demi-cercle, est plus grand qu’un droit.
Joignons ΑΒ, et prolongeons BA vers Z.
Puisque BE est égal à EA, l’angle ABE est égal à l’angle ΒΑE (5. 1) . De plus, puisque TE est égal à ΒΑ, l’angle ΑΓΕ est égal à lʼangle ΓΑΒ ; donc l’angle entier ΒΑΓ est égal aux deux angles 4BΓ, rûp. Mais l’angle ΖΑΓ placé hors du triangle ΑΒΓΙ est égal aux deux angles ΑΒΓ, ΑΓΒ (32. 1) ; donc l’angle ΒΑΓ est égal à l’angle ΖΑΓ ; donc chacun de ces angles est droit (déf. 10. 1) ; donc l’angle BAΓ, placé dans le dermi-cercle BAT, est droit.
Puisque les deux angles ABΓ, BAΓ du triangle ABΓ sont plus petits que deux
