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καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς σλευ- ραῖς ἴσας ἐξουσιν. - ἴση ἄρα ἡ ΔῈ τῇ ΔΖ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΔΖ ἐστὶν ἴση. Αἱ τρεῖς ἄρα εὐθείαι αἱ ΔΒΕ, ΔΖ, ΔΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν1. ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Δ, καὶ5 διαστήματι ἐνὶ τῶν ΔΕ, ΔΖ, ΔΗ͂ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ δυὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθειῶν, διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Ε, Ζ, Η σημείοις γωνίας. Εἰ γὰρ τεμεῖ αὐτὰς, ἔσται ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ᾽ ἄκρὰς ἀγομένη ἐντὸς πίπτουσα τοῦ κύκλου, ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθηθ. οὐκ ἄρα 67 κέν- τρῳ Δ, διαστήματι δὲ ἐνὶ τῶν ΔΕ, ΔΖ, ΔΗ γρα- φόμενος κύκλος τέμνει τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθείας. ὀφάψεται ἄρα αὐυτῶν καὶ ἔσται κύκλος ἐγγεγραμ- μένος εἰςὅ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. Ἐγγεγράφθω ὡς ΖΕΗΘ. |
reliqua igitur latera reliquis lateribus æqualia habebunt ; æqualis igitur AE ipsi Az. Propter eadem utique et AH ipsi aZ est æqualis. Tres igitur rectæ ΔE, ΔZ, ΔH æquales inter se sunt ; ergo centro Δ, et intervallo unà ipsarum ΔE, ΔZ, ΔH circulus descriptus transibit et per reliqua puncta, et contingett AB, BΓ, ΓA rectas, propterea quod recti sunt ad E, Z, H puncta anguli. Si enim secet ipsas, erit ipsa diametro circuli ad rectos ab extremitate ducta intra ipsum cadens circulum, quod absurdum ostensum est ; non igitur centro Δ, intervallo autem uná ipsarum AE, 9Z, AB descriptus circulus secat AB, BΓ, ΓA rectas ; contingit igitur ipsas, , et erit cir- culus descriptus in ABΓ triangulo. Inscribatur ut ZHE- |
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Εἰς ἄρα τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλος ἐγγέγραπται ὁ6ι10 ΒΖώΗ. Οπερ ἔδει ποιῆσαι. |
In dato igitur triangulo ABΓ circulus ins- criptus est EZH. Quod oportebat facere. |
angles égaux ; ils ont donc les côtés restants égaux aux côtés restants (26. 1) ; donc ΔE est égal à ΔΖ, Par la même raison ΔΗ est égal à nZ. Donc les trois droites JE, ΔΖ, ΔΗ sont égales entr’elles ; donc le cercle décrit du point Δ et d’un intervalle égal à une des droites ΔΕ, ΔΖ, ) H passera par les autres points, et touchera les droites ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, les angles étant droits en E, Z, H. Car si le cercle coupait ces droites, une perpendiculaire au diamètre d’un cercle et menée d’une de ses extrémités tomberait dans ce cercle, ce qui a été démontré absurde (16. 3) ; donc le cercle décrit du point Δ et d’un inter- valle égal à une des droites ΔΒΕ, nZ, nH ne coupera point les droites ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ; donc elle les touchera, et ce cercle sera inscrit dans letriangle ABΓ (déf. 5. 4) . Qu’il soit inscrit comme ZHE.
Donc dans le triangle donné ABΓ, on a inscrit le cercle EZH. Ce qu’il fallait faire.
