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ZHE ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεδήκασιν. αἱ ἐξ ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΙ, ἹΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Υπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας αἴ32 ἴσαι εὐ-- θειαι ὑποτείνουσιν » αἱ ἐξ ἄρα εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλή. λαις εἰσινο ἰσοπλευρὸν ἀρὰ ἐστί τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἐξα- γωνον. λέγω δὴ ὁτι καὶ ἰσογώνιον. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ περιφέρεια τῇ ΕΔ περιφερείᾳ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια. ὅλη ἄρα ἡ ΖΑΒΓΔΡ ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒΑΖά ἐστὶν ἴση, καὶ βέϊηκε ἐπὶ μὲν τῆς ΖΑΒΓΔ περιφερείας ἡ ὑπὸ ΖΕΔ γωνία, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΙΒΑ περιφερείαςϑ8 ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γων » ἴα τῇ ὑπὸ ΖΕΔ. Ομοίως δὴδ δειχϑήσεται ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι τοῦ ΑΒΓΔΕΖ ἐξαγωνου κατὰ μίαν ἴσαι εἰσὶν ἐκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΖΕ, ΖΕΔ γωνιῶν. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ7 τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἐξάγωνον. Εδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευ- ρὸν, καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒΓΔΕΖ κύκλον. |
AHΓ, ΓHB, BHÁ, AHZ, ZHE æquales inter se sunt. JEquales flutem anguli æqualibus circum- ferentiis iasistunt ; sex igitur circumferentiæ AB, BΓ, ΓΔ, AE, EZ, ZA æquales inter se sunt. Aiuales autem circumferentias æquales rectæ subtendunt ; sex igitur rectæ æquales inter se sunt ; æquilaterum igitur est ABΓAEZ liexago- num ; dico etiam et æquiangulum. Quoniam enim æqualis est ZA circumferentia ipsi EAcir- cumferentiæ, communis addatur ABΓΔ circum- fcrentia ; tota igitur ZABΓA toti EAΓBA est æÀqua- lis, et insistit quidem ipsi ZABΓA circumferen- tiæm ipse ZEΔ angulus, ipsi vero EAΓBA circum- ferentim ipse AZE angulus. JZqualis igitur AZE angulus ipsi ZER. Similiter utique ostendetur et reliquos angules ipsius ABΓAEZ hexagoni secun- dum unum æquales esse alterutri ipsorum AZE, ZEΔangulorum, Jquiangulum igitur est ABΓAEZ hexagonum. Ostensum est autem et æquilate- rum, et inscriptum est in ABΓAEZ circulo. |
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Εἰς ἄρα τῶν δοθέντα κύκλον ἐξαάγωνον ἰσύ. πλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται. ΟΖσερ ἐδεὶ ποιῆσαι. |
In dato igitur circulo hexagonum 7æquilate- rumque et æquiangulum inscriptum est. Quod oportebat facere. |
AHZ, ZHE sont égaux entr’eux. Mais des angles égaux s’appuient sur des arcs égaux (20. 3) ; donc les six arcs ÆB, ΒΓ, ΓΔ, ΔE, EZ, ZA sont égaux entreux. Mais des arcs égaux sont soutendus par des droites égales (29. 3) ; donc ces six droites sont égales entr’elles ; donc l’hexagone ABΓAVEZ est équilatéral. Je dis qu’il est équiangle. Car puisque l’arc ΖΑ est égal à l’arc ΕΔ, ajoutons l’arc commun ΑΒΓΔ, l’arc entier ΖΑΒΓΔ sera égal à l’arc entier ΕΔΓΒΑ. Mais l’angle ΖΕΣΔ s’appuie sur l’arc zaBΓΔ, et l’angle ΑΖΕ s’appuie sur l’arc EATBA ; donc lʼangle ΑΖΕ est égal à DP’angle ΖΕΔ (27. 3) : On démontrera semblablement que les angles restants de lʼhexagone ΑΒΓΔΕΖ sont égaux un à un à l’un et à lʼautre des angles AZE, ZEA ; donc l’hexagone ABΓZEZ est équiangle. Mais on a démontré qu’il est équilatéral, et il est inscrit dans le cercle ABΓΔEZ.
Donc on a inscrit un hexagone équilatéral et équiangle dans le cercle donné. Ce qu’il fallait faire.
