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Εἰλήφθωσαν γὰρ δύο μὲν ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ἐν τῷ τῶνΑ, Γ, Δ, Β λόγῳ ὄντες, οἱ Ζ, Η. τρεξς δὲ οἱ Θ- Κ, Δ, καὶ ἀεὶ ἐξῆς ἐνὶ πλείους ἴως ἂν ἴσον γίνηται τὸ πλῆθος αὐτῶν τῷ πλήθει τῶν, Γ, Δ, Β ; , εἰλήφθωσαν, καὶ ἔστωσαν οἱ Μ, Ν, Ξ, Ο. Ψ φανερὸν δὴ ὅτι ὁ μὲν Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκε, τὸν δὲ Θ πολλαπλασιάσας τὸν Μ πεποίηκε, καὶ ὁ ῆ ῥἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκε, τὸν δὲ Λ πολλαπλασιάσας τὸν Ο πεποίηκε. Καὶ ἐπεὶ οἱ Μ, Ν, ΒΞ, , Ο ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Ζ, Η, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Ζ, Η, καὶ ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Μ, Ν, 3ξ, Ο τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, Β. ἐκαστος ἄρα τῶν Μ, Ν, ξ, Ο ἐκάστῳ τῶν Α, Γ, Δ, Β ἴσος ἐστίνι ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν Μ τῷ Α, ὁ δὲ Ο τῷ Β. Καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ ἑαυτὸν πολλα- πλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν. ὅ Ζ ἄρα τὸν Θ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ2 μονάδϑας. Μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας. ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Ζ τὸν Θʼ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ |
Sumantur enim duo quidem numeri minimi Z, H in ipsorum A, Γ, z, B rationc existentes, tres vero &, K, 4A, et semper deinceps uno plures quoad æqualis fiat multitudo eorum multitudini ipsorum A, Γ, Δ, B ; sumantur, et sint M, N, E, O ; evidens est utique Z quidem se ipsum multiplicantem ipsum eP fecisse, mul- tiplicantem vero æ fecisse M, et H se ipsum quidem multiplicantem fecisse à, multiplican- tem vero A fecisse O. Et quoniam M, N, Ξ, O minimi sunt eamderm rationem habentium cum ipsis Z, H, sunt autem et A, Γ, Δ, B minimi eamdem rationem habentium cum ipsis Z, H, et est æqualis multitudo ipsorum M, N, Z, Q multitudini ipsorum A, Γ, Δ, B ; unusquisque igitur ipsorum M, N, Ξ, O unicuique ipsorum A, Γ, Δ, B æqualis est ; æqualis igitur est ipse quidem M ipsi Δ, ipse vero O ipsi B. Et quo- niam Z se ipsum multiplicans ipsum B fecit, ergo Z ipsum Θ metitur per unitates quæ in Z. Metitur autem et E unitas ipsum Z per unitates quza in ipso ; æqualiter igitur E unitas ipsum Z numerum metitur ac Z ipsum Θ ; est igitur ut E |
Soient pris les deux plus petits nombres Z, H dans la raison des nombres A, Γ,
a, B (2. 8) ; ensuite trois Θ, Κ, Δ, et toujours successivement un de plus jusqu’à ce
que leur quantité soit égale à celle des nombres Α, Γ, Δ, B ; que ces nombres soient
pris, et qu’ils soient M, N, Z, 0 ; il est évident que Ζ se multipliant lui-même a
fait o, que z multipliant a fait M, que H se multipliant lui-même a fait n,
et que H multipliant a fait o (2. 8). Puisque les nombres M, N, Z, Ο
sont les plus petits de ceux qui ont la même raison quez, H, que les nombres
Α, Γ, Δ, B sont aussi les plus petits de ceux qui ont la même raison que Ζ,
n, et que la quantité des nombres M, N, Z, o est égale à celle des nombres
A, T, à, B, chacun des nombres M, N, , _ est égal à chacun des nombres
A, , à, B ; donc Μ est égal à et o à B. Et puisque Z se multipliant lui-même
a fait Θ, Z mesure Θ par les unités qui sont en Z. Mais l’unité E mesure Ζ par les
unités qui sont en Z ; donc l’unité E mesure Ζ autant de fois que Z mesure ; donc
l’unité Ε est au nombre Ζ comme z est à Θ (déf. 20. 7). De plus, puisque Ζ multi-
