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Ν πλευραὶ τοῦ Α, οἱ δὲ Ξ, Λ, Μ πλευραὶ τοῦ Βʼ οἱ Α, Β ἄρω ὅμοιοι στερεοί εἰσιν. Οπερ ἔδει δεῖζαι. |
tera ipsius A, ipsi vero Z, A, M latera ipsius B ; ergo A, B similes solidi sunt. Quod oportebat ostendere. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κβ΄ | PROPROSITIO XXII. |
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Ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ πρῶτος τετράγωνος ἢ. καὶ ὁ τρίτος τετράγωνος ἔσται. |
Si tres numeri deinceps proportionales sunt, primus autem quadratus sit, et tertius quadratus erit. |
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Εστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, ὁ δὲ πρῶτος ὁ Α Τετράγωνος ἔστω. λέγω ὁτι καὶ Ο τρίτὸς ΟΓ τετραγωνγὸς ἐστιν. |
Sint tres numeri deinceps proportionales A, B, Γ, primus autem A quadratus sit ; dico et tertium Γ quadratum esse. |
| A, 4. | B, 6. | Γ, 9. |
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Επεὶ γὰρ τῶν Α, Γ εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμὸς ὁ Βʼ οἱᾳΑ, Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσι. Τετράώγωνος δὲ ὁ Α. Κ τετρώγωνος ἄρα καὶ ὁ Γ, Οπερ ἴἔδει δεῖξαι. |
Quoniam enim ipsorum A, Γ unus medius proportionalis est numerus B ; ergo A, Γ similes solidi sunt. Quadratus autem A ; quadratus igitur et Γ. Quod oportebat ostendere. |
sont les côtés de A, et Ξ, Λ, M les côtés de B ; donc les nombres A, B sont
des solides semblables. Ce qu’il fallait démontrer.
Si trois nombres sont successivement proportionnels, et si le premier est un quarré, le troisième sera un quarré.
Soient X, B, Γ trois nombres successivement proportionnels, et que le premier À soit un quarré ; je dis que le troisième Γ est un quarré.
Puisque entre les nombres Α, Γ il y a un moyen proportionnel B, les nombres Α, Γ sont des plans semblables (20. 3). Mais Α est un quarré ; donc Γ est un quarré. Ce qu’il fallait démontrer.
