| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κδʼ. | PROPOSITIO XXIV. |
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Εὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμὸν, ὁ δὲ πρῶτος τετράγωνος ἢ" καὶ ὁ δεύτερος τέε- τράγωνος ἔσται. |
Si duo numeri inter se rationem habent quam quadratus numerus ad quadratum numerum, primus autem quadratus sit, et secundus qua- dratus erit. |
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Δύο γὼρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸς ἀλλήλους λόγον ἐχέτωσαν ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς δὁΓΣ πρὸς τετρά- γῶνον ἀριθμὸν τὸν Δ, ὁ δὲ Α τετράγωνος ἔστῳ" λέγω ὅτι καὶ ὁ Β τετράγωνός ἐστιν. |
Duo enim numeri A, B inter se rationem habeant quam quadratus numerus Γ ad quadra- tum numerunm 4, ipse autem A quadratus sit ; dico et B quadratum essce. |
| A, 4. | B, 9. |
| Γ, 16. | Δ, 36. |
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Επεὶ γὰρ οἱ Γ, Δ τετράγωνοί εἶσιν"ʼ οἱ Γ, Δ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσι. τῶν Γ, Δ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός. Καὶ ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ οὕτωςϊ ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ τὼν Α, Β ἀραὰα εἰς μέσος ἀνάλογον ἐμπίσπτει ἀριθμός. Καὶ ἔστιν ὁ Α τετράγωνος. καὶ ὁ Β ἄρα τετράγωνύός ἐστιν. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
Quoniam enim Γ, & quadrati sunt ; ergoΓ, A similes plani sunt ; inter Γ, A igitur unus me- dius proportionalis cadit numerus. Atque est ut Γ ad Δ ita A ad B ; et inter A, B igitur unus medius proportionalis cadit numerus. Atque est Δ quadratus ; et B igitur quadratus est. Quod oportebat ostendere. |
Si deux nombres ont entr’eux la même raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, et si le premier est un quarré, le second sera un quarré.
Car que les deux nombres ñ, B ayent entr’eux la même raison que le nombre quarré Γ a avec le nombre quarré Δ, et que Α soit un quarré ; je dis que B est un quarré.
Car puisque Γ, Δ sont des quarrés, les nombres Γ, Δ sont des plans semblables ; il tombe donc entre Γ, Δ un nombre moyen proportionnel (13. 8). Mais Γ est à Δ comme est à B ; il tombe donc aussi un nombre moyen proportionnel entre A et B (8. 8). Mais A est un quarré ; donc B est un quarré (22. 8). Ce qu’il fallait démontrer.
