sont que le produit d’une quantité de sensations identiquement perçues. Ces sensations peuvent, il est vrai, être simultanément différentes les unes des autres, alors que les notions de quantité et de nombre supposent l’identité absolue des qualités additionnées. Comme ce sont nos sensations qui mesurent ces identités et ces coïncidences, on peut se demander d’où provient notre certitude absolue relativement à l’exactitude des nombres. Y a-t-il réellement égalité des sensations additionnées ? Ou, si l’on préfère, y a-t-il véritablement addition de sensations égales ? Pouvons-nous affirmer l’égalité de deux sensations successives ? Et comment nous assurer de cette égalité puisqu’en fin de compte c’est toujours une sensation qui sert de moyen de vérification ?
D’autre part, comment distinguerions-nous les unes des autres des sensations absolument identiques ? Et comment pouvons-nous, sans nous contredire, égaliser des mesures que nous prétendons différencier qualitativement ? Est-il possible d’imaginer comment des choses égales peuvent être distinctes les unes des autres et comment ces égalités peuvent soudainement se transformer en propriétés qualitatives de grandeur ? Le nombre est-il de la même nature que les qualités générales ? Les quantités ne seraient-elles que des qualités différentes, et dix, cent, mille ne représenteraient-ils que ces qualités différentes et non une grandeur continue formée d’égalités réelles ?
En d’autres termes, le nombre est-il réellement le souvenir d’une répétition de sensations identiques, ou est-il le souvenir d’un changement qualitatif ?
La recherche est assez difficultueuse et de nombreux mathématiciens et psychologues, négligeant le fond même du problème, donnent une origine logique et rationnelle à la quantité.
La difficulté consiste surtout à saisir les premiers éléments de l’évaluation du nombre. Il est certain que les qualités générales d’un objet se représentent toujours chez l’enfant, lors de la formation de la pensée, avec les possibilités d’usage de cet objet, ou tout au moins avec la connaissance des influences de cet objet sur lui-même.
La discrimination s’effectue donc assez rapidement, d’une part entre les différences d’intensité d’une même excitation et, d’autre part, entre les différences qualitatives dues à la présence simultanée ou successive de plusieurs excitations, ou groupes d’excitations. Deux abricots calment mieux l’appétit ou la gourmandise qu’un seul. Ainsi donc, la qualité générale du fruit, bien que s’étendant au seul abricot, diffère tout de même comme satisfaction physiologique, selon qu’il y a un ou deux fruits. La quantité apparaît alors, primitivement, plutôt comme une adaptation progressive (et, par conséquent, qualitative) de notre esprit conquérant aux possibilités de conquête de notre individu, que comme une opération mentale tirée du raisonnement pur.
Ce qui prouve qu’il en est bien ainsi, c’est que le primitif ne procède pas autrement que l’enfant dans ses représentations quantitatives. Dans ses jugements quantitatifs, il n’effectue aucune opération abstraite, mais apprécie les différentes quantités qu’il sait distinguer, comme des ensembles doués de propriétés différentes.
On conçoit que, pour passer de cette manière de penser à la mesure précise d’une quantité, il faut évidemment une modification considérable du jugement. Pourtant, nous saisissons chez les primitifs le mécanisme qui nous indique le processus de cette modification. Pour parvenir à un nombre plus grand que deux ou trois, ils progressent en se servant de leurs doigts, mains, pieds, etc., et toujours dans le même sens. Il suffit que le nombre cherché coïncide avec une des parties du corps, dénommées pour que la quantité obtenue jusque là soit celle qui convient à l’usage du ou des calculateurs. Cette simple opération de succession de quantité contient
Ainsi se trouve résolue la première difficulté signalée plus haut ; difficulté identique à celle que nous surmontons lorsque classant un objet par ses qualités générales nous le distinguons tout de même des autres par ses qualités particulières. Ici, nous remplaçons la qualité particulière par un signe différent que nous donnons aux nombres pour les distinguer les uns des autres. D’ailleurs, par le fait même que les choses sont extérieures les unes aux autres et n’occupent point le même espace, elles se différencient nécessairement relativement à leurs positions respectives, et le signe n’est qu’un symbole commode équivalent à cette différenciation de fait.
Ainsi, sans confondre aucunement les nombres, nous leur donnons à la fois la même valeur, en tant que possesseurs de la qualité générale qui nous permet de les grouper dans une même catégorie, et nous les distinguons particulièrement en tant que précisant notre possibilité d’action sur les qualités générales considérées (classement).
Nous voyons déjà que la notion de quantité n’implique pas nécessairement l’identité absolue des objets collectionnés, mais l’identité absolue de leur qualité. Ce n’est donc pas l’égalité de deux sensations qui crée l’idée de nombre, puisque jamais deux objets ne se ressemblent absolument et ne peuvent créer des sensations absolument égales ; c’est l’identité des relations entre ces objets et nous, c’est l’identité de notre action sur eux qui le créent.
Nous avons vu que cette action se distingue qualitativement pour les premiers nombres, mais la formation des grands nombres n’échappe point à cette qualification. En effet, les qualités des nombres se modifient au fur et à mesure de leur élévation, et leur numération progressive n’est qu’un système mnémonique de repérage commode permettant de trouver facilement la qualité correspondante. Le nombre mille éveille immédiatement en nous toutes les qualités de ce nombre, qu’il s’applique à de l’argent, à des kilomètres, ou à des bouteilles de cru.
Si subtiles, si abstraites que paraissent les opérations des mathématiciens, elles procèdent toujours d’égalité, d’augmentation, de diminution, et l’esprit du calculateur ne perd jamais de vue que toutes ces opérations se rapportent à quelque chose qu’il poursuit à travers elles.
Une distinction s’impose tout de même dans l’évaluation des quantités, selon qu’on envisage la connaissance d’une collection d’objets ou la connaissance des parties d’un tout (évaluation d’une grandeur). L’étude des collections d’objets finis est en somme relativement facile, puisque nous pouvons supposer qu’à chaque augmentation de la collection correspond une différence qualitative suffisamment sensible pour être retenue de manière mnémotechnique. Pour les collections élevées, il suffit non pas de se représenter toute la série des nombres intermédiaires, mais de suivre et d’observer l’ordre du classement des différents objets pour connaître l’importance de la collection. On peut, par exemple, grouper cinq objets, puis grouper ensemble cinq groupes de cinq objets et ainsi de suite, de telle sorte qu’à chaque forme de groupement corresponde toujours un rapport invariable entre la position de ce groupement dans le classement de la collection et son importance (table d’additions et de multiplications).
L’évaluation d’une grandeur est un peu différente,
