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THÉORIE DE LA CHALEUR.
Donc l’intégrale définie
est une fonction
de
égale à
si la variable
a une valeur quelconque
comprise entre
et
; et cette même fonction est nulle
pour toute autre valeur de
non comprise entre les limites
et
358.
On pourrait déduire aussi de la transformation des séries
en intégrales les propriétés des deux expressions
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq\,\cos .qx}{1+q^{2}}}\qquad \mathrm {et} \qquad {\frac {2}{\pi }}\int {\frac {q\,dq\,\sin .qx}{1+q^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92ccad2bda956c7d97c474079588f90bc459350c)
la première (art. 350) équivaut à
lorsque
est positive,
et à
lorsque
est négative. La seconde équivaut à
si
est positive, et à
si
est négative, en sorte que
ces deux intégrales ont la même valeur, lorsque
est positive,
et ont des valeurs de signe contraire lorsque
est négative.
L’une est représentée par la ligne
(fig. 19)
l’autre par la ligne εεεε, (fig. 20).
L’équation
![{\displaystyle {\frac {1}{2\alpha }}\sin .x={\frac {\sin .\alpha .\sin .x}{\pi ^{2}-\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .2\alpha .\sin .2x}{\pi ^{2}-2^{2}.\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .3\alpha .\sin .3x}{\pi ^{2}-3^{2}.\alpha ^{2}}}+\mathrm {etc.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66bf9e87715fe21ac36ed8637e4b67915c40f025)
que nous avons rapportée (art. 226), donne immédiatement
l’intégrale
cette dernière expression
équivaut à
, si
est comprise entre 0 et
, et sa valeur
est nulle toutes les fois que
surpasse
359.
La même transformation s’applique à l’équation générale