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CHAPITRE IX.

${\frac {1}{2}}\pi \,\varphi u=\sin .u\int du\,\varphi u\,\sin .u+\sin .2u\int du\,\varphi u\,\sin .2u+\mathrm {etc.}$

faisant $u={\frac {x}{n}},$ on désignera $\varphi u$ ou $\varphi \left({\frac {x}{n}}\right)$ par $fx$ ; on introduira dans le calcul une quantité $q$ qui reçoit des accroissements infiniment petits, égaux à $dq,$ $n$ sera égal à ${\frac {1}{dq}}$ et $i$ à ${\frac {q}{dq}}$ ; substituant ces valeurs dans le terme général

$\sin .i{\frac {x}{n}}\int {\frac {dx}{n}}\,\varphi \left({\frac {x}{n}}\right)\sin .\left(i{\frac {x}{n}}\right),$

on trouvera $dq\,sin.qx\int dx\,fx\,\sin .qx.$ L’intégrale par rapport à $u$ est prise de $u=0$ à $u=\pi ,$ donc l’intégration par rapport à $x$ doit avoir lieu de $x=0$ à $x=n\pi ,$ ou de $x$ nulle à $x$ infinie.

On obtient ainsi un résultat général exprimé par cette équation

${\frac {1}{2}}\pi \,fx=\int \limits _{0}^{\infty }dq\,\sin .qx\int \limits _{0}^{\infty }dx\,fx\,\sin .qx,\qquad ({\boldsymbol {e}})$

c’est pourquoi, en désignant par $\mathrm {Q}$ une fonction de $q,$ telle que l’on ait $fu=\int dq\,\mathrm {Q} \,\sin .qu,$ équation dans laquelle $fu$ est une fonction donnée, on aura $\mathrm {Q} ={\frac {2}{\pi }}\int du\,fu\,\sin .qu,$ l’intégrale étant prise de $u$ nulle à $u$ infinie. Nous avons déjà résolu une question semblable (art. 346), et démontré l’équation générale