En posant
![{\displaystyle [m,n]=\int _{0}^{1}(1-x)^{m-1}x^{n-1}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6c0450bc4476841fae5a39701f0e3c53956131)
,
Galois part de la relation
![{\displaystyle [m+1,n]={\frac {m}{m+n}}[m,n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be3e8b9088f4bd6ca3035dcc39bb02c0f0a88e7)
;
il en déduit, en désignant par p un nombre entier positif quelconque,
![{\displaystyle [m,n]={\frac {[p,m]}{[p,m+n]}}[m+p,n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccdd37d5b4bae8c6e4126f55a022a2e0773fe53f)
,
puis
![{\displaystyle [m,n]=\lim _{p\to \infty }{\frac {[p,m]\times [p,n]}{[p,m+n]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af3e9b9407747e393441b5c7e237b2365cae7d3d)
;
en remplaçant
par
, et en passant à la limite, il obtient
![{\displaystyle [m,n]={\frac {\Gamma m\Gamma n}{\Gamma (m+n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3ec058a7a813ebf37259acd81e40f3bd2a9d88)
.
Il établit ensuite la relation
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{n-1}-1}{x-1}}\,\mathrm {d} x=\varphi (n)-\varphi (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195e596cf4fd0ecf6f1d1265ee194abf8134d124)
,
où
![{\displaystyle \varphi (n)={\frac {d\log \Gamma (n)}{dn}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b327dd0537f60e5662658365688abe5d5057f45)
,
en partant de ce que l’on a, pour
,
![{\displaystyle {\frac {d\log[m,n]}{dm}}={\frac {\int _{0}^{1}\log(1-x)x^{n-1}\,\mathrm {d} x}{\int _{0}^{1}x^{n-1}\,\mathrm {d} x}}=\int _{0}^{1}\log(1-x)nx^{n-1}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a061ccd6267eb6f59b26aec0a107964eab793aa7)
,
d’où, en intégrant le dernier membre par parties,
![{\displaystyle \varphi (1)-\varphi (n+1)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}-1}{x-1}}|mathrmdx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91df42a68349821c8eaeb149973f87db1e49dacd)
.