N[1]
Lemme I. Soit un groupe G de mt.n permutations, qui se décompose en n groupes semblables à H. Supposons que le groupe H se décompose en t groupes de m permutations, et semblables à K.
Si, parmi toutes les substitutions du groupe G, celles du groupe H sont les seules qui puissent transformer l’une dans l’autre quelques substitutions du groupe K, on aura .
Lemme II. Si est un nombre premier, et un entier quelconque on aura
Ces deux lemmes permettent de voir dans quel cas un groupe primitif de degré (où est premier) peut appartenir à une équation résoluble par radicaux.
En effet, appelons G un groupe qui contient toutes les substitutions linéaires possibles par les lettres. (Voyez le mémoire cité.) Soit, s’il est possible, L un groupe qui divise G et qui se partage lui-même en p groupes semblables à K, K ne comprennant pas deux permutations où une lettre occupe la même place. On peut prouver 1o que s’il y a dans le groupe G et hors du groupe L, quelque substitution S qui transforme l’une dans l’autre quelques substitutions du groupe K, cette substitution sera de termes, étant un diviseur de .
D’après cela, comme le nombre de permutations du groupe G est
d’après le lemme I, on devra avoir [2]