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Addition au mémoire sur la résolution des équations.

Lemme I. Soit un groupe G de mt.n permutations, qui se décompose en n groupes semblables à H. Supposons que le groupe H se décompose en t groupes de m permutations, et semblables à K.

Si, parmi toutes les substitutions du groupe G, celles du groupe H sont les seules qui puissent transformer l’une dans l’autre quelques substitutions du groupe K, on aura $n\equiv 1{\pmod {m}}\quad {\text{ou}}\quad tn\equiv t{\pmod {m}}$.

Lemme II. Si $\mu$ est un nombre premier, et $p$ un entier quelconque on aura

$(x-p)(x-p^{2})(x-p^{3})\ldots (x-p^{\mu -1})\equiv {\frac {x^{\mu }-1}{x-1}}{\bmod {\left({\frac {p^{\mu }-1}{p-1}}\right)}}$.

Ces deux lemmes permettent de voir dans quel cas un groupe primitif de degré $p^{\nu }$ (où $p$ est premier) peut appartenir à une équation résoluble par radicaux.

En effet, appelons G un groupe qui contient toutes les substitutions linéaires possibles par les ${\frac {p^{\nu }-1}{p-1}}$ lettres. (Voyez le mémoire cité.) Soit, s’il est possible, L un groupe qui divise G et qui se partage lui-même en p groupes semblables à K, K ne comprennant pas deux permutations où une lettre occupe la même place. On peut prouver 1^o que s’il y a dans le groupe G et hors du groupe L, quelque substitution S qui transforme l’une dans l’autre quelques substitutions du groupe K, cette substitution sera de $r$ termes, $r$ étant un diviseur de $p-1$.

D’après cela, comme le nombre de permutations du groupe G est

${\frac {p^{\nu }-1}{p-1}}\cdot (p^{\nu }-p^{\nu -1})(p^{\nu }-p^{\nu -2})\ldots (p^{\nu }-p^{2})(p^{\nu }-p)$

d’après le lemme I, on devra avoir ^[2]

$(p^{\nu }-p^{\nu -1})(p^{\nu }-p^{\nu -2})\ldots (p^{\nu }-p^{2})(p^{\nu }-p)\equiv p^{k}r\left(\mod {\frac {p^{\nu }-1}{p-1}}\right)$

1. Une feuille (18 × 15), écrite des deux côtés.
2. Relativement au premier membre de la congruence qui suit, je dois signaler