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( 95 )

tions

(II)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{5}{\mathcal {A}}^{\ast }&{}={}&\mathrm {A} ^{\ast }&\,(aa)&{}+{}\mathrm {B} ^{\ast }&\,(ab)&{}+{}\mathrm {C} ^{\ast }&\,(ac)&{}+{}\ldots ,\\{\mathcal {B}}^{\ast }&{}={}&\mathrm {A} ^{\ast }&\,(ab)&{}+{}\mathrm {B} ^{\ast }&\,(bb)&{}+{}\mathrm {C} ^{\ast }&\,(bc)&{}+{}\ldots ,\\{\mathcal {C}}^{\ast }&{}={}&\mathrm {A} ^{\ast }&\,(ac)&{}+{}\mathrm {B} ^{\ast }&\,(bc)&{}+{}\mathrm {C} ^{\ast }&\,(cc)&{}+{}\ldots ,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right.$

et cela fait, la compensation complète des observations ainsi modifiées se fera par les nouveaux changements $-\varkappa$, $-\varkappa '$, $-\varkappa ''$, etc. ; $\varkappa$, $\varkappa '$, $\varkappa ''$, etc., se déduisant des formules

(III)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{5}&\varkappa \,p&{}={}\mathrm {A} ^{\ast }&\,a&{}+{}\mathrm {B} ^{\ast }&\,b&{}+{}\mathrm {C} ^{\ast }&\,c&{}+{}\ldots ,\\&\varkappa 'p'&{}={}\mathrm {A} ^{\ast }&\,a'&{}+{}\mathrm {B} ^{\ast }&\,b'&{}+{}\mathrm {C} ^{\ast }&\,c'&{}+{}\ldots ,\\&\varkappa ''p''&{}={}\mathrm {A} ^{\ast }&\,a''&{}+{}\mathrm {B} ^{\ast }&\,b''&{}+{}\mathrm {C} ^{\ast }&\,c''&{}+{}\ldots ,\end{alignedat}}\\\,\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right.$

Cherchons comment ces corrections s’accordent avec la compensation complète des observations primitives. Il est clair d’abord que l’on a

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{5}{\mathcal {A}}^{\ast }&{}={}{\mathcal {A}}&{}-{}&a&\,\Theta &{}-{}a'&\Theta '&{}-{}a''&\Theta ''{}-{}\ldots ,\\{\mathcal {B}}^{\ast }&{}={}{\mathcal {B}}&{}-{}&b&\,\Theta &{}-{}b'&\Theta '&{}-{}b''&\Theta ''{}-{}\ldots ,\\{\mathcal {C}}^{\ast }&{}={}{\mathcal {C}}&{}-{}&c&\,\Theta &{}-{}c'&\Theta '&{}-{}c''&\Theta ''{}-{}\ldots ,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \end{array}}$

En substituant dans ces équations, pour $\Theta$, $\Theta '$, $\Theta ''$, etc., leurs valeurs fournies par le système (I), pour ${\mathcal {A}}^{\ast }$, ${\mathcal {B}}^{\ast }$, ${\mathcal {C}}^{\ast }$, etc., celles que donne le système (II), il vient

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{3}{\mathcal {A}}{}={}&(\mathrm {A} ^{0}+\mathrm {A} ^{\ast })\,(aa)&{}+{}&(\mathrm {B} ^{0}+\mathrm {B} ^{\ast })\,(ab)&{}+{}\ldots ,\\{\mathcal {B}}{}={}&(\mathrm {A} ^{0}+\mathrm {A} ^{\ast })\,(ab)&{}+{}&(\mathrm {B} ^{0}+\mathrm {B} ^{\ast })\,(bb)&{}+{}\ldots ,\\{\mathcal {C}}{}={}&(\mathrm {A} ^{0}+\mathrm {A} ^{\ast })\,(ac)&{}+{}&(\mathrm {B} ^{0}+\mathrm {B} ^{\ast })\,(bc)&{}+{}\ldots ,\end{alignedat}}\\\,\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}$

et il suit de là que les corrélatifs des équations de condition (12) sont

${\begin{aligned}\mathrm {A} &=\mathrm {A} ^{0}+\mathrm {A} ^{\ast },&\mathrm {B} &=\mathrm {B} ^{0}+\mathrm {B} ^{\ast },&\mathrm {C} &=\mathrm {C} ^{0}+\mathrm {C} ^{\ast },\ldots ,\end{aligned}}$

et alors les équations (10), (I) et (III) montrent que l’on a

${\begin{aligned}\varepsilon &=\Theta +\varkappa ,&\varepsilon '&=\Theta '+\varkappa ',&\varepsilon ''&=\Theta ''+\varkappa '',\ldots ;\end{aligned}}$

et, par suite, la compensation parfaite a la même valeur pour chaque inconnue, soit qu’on la calcule directement, soit qu’on l’obtienne médiatement en partant d’une compensation incomplète.