Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/111

( 97 )

( 97 )

dans l’art. 8. Adoptons, pour plus de clarté, des notations plus propres à mettre la démonstration en lumière.

Soient $x^{0}$, $x'$, $x''$, etc., des indéterminées ; supposons que les équations

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}&n^{00}\,&x^{0}&{}+{}n^{01}\,&x'&{}+{}n^{02}\,&x''&{}+{}\ldots =\mathrm {X} ^{0},\\&n^{10}\,&x^{0}&{}+{}n^{11}\,&x'&{}+{}n^{12}\,&x''&{}+{}\ldots =\mathrm {X} ',\\&n^{20}\,&x^{0}&{}+{}n^{21}\,&x'&{}+{}n^{22}\,&x''&{}+{}\ldots =\mathrm {X} '',\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \end{array}}$

aient donné, par élimination, les suivantes :

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}&\mathrm {N} ^{00}\,&\mathrm {X} ^{0}&{}+{}\mathrm {N} ^{01}\,&\mathrm {X} '&{}+{}\mathrm {N} ^{02}\,&\mathrm {X} ''&{}+{}\ldots =x^{0},\\&\mathrm {N} ^{10}\,&\mathrm {X} ^{0}&{}+{}\mathrm {N} ^{11}\,&\mathrm {X} '&{}+{}\mathrm {N} ^{12}\,&\mathrm {X} ''&{}+{}\ldots =x',\\&\mathrm {N} ^{20}\,&\mathrm {X} ^{0}&{}+{}\mathrm {N} ^{21}\,&\mathrm {X} '&{}+{}\mathrm {N} ^{22}\,&\mathrm {X} ''&{}+{}\ldots =x'',\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}$

En substituant, dans les deux premières équations du second système, les valeurs de $\mathrm {X} ^{0}$, $\mathrm {X} '$, $\mathrm {X} ''$, etc., fournies par le premier, nous obtiendrons deux équations identiques :

${\begin{array}{r}{\begin{alignedat}{4}x^{0}{}={}&\mathrm {N} ^{00}&\,(&n^{00}\,&x^{0}&{}+{}n^{01}\,&x'&{}+{}n^{02}\,&x''&{}+{}\ldots )\\{}+{}&\mathrm {N} ^{01}&\,(&n^{10}\,&x^{0}&{}+{}n^{11}\,&x'&{}+{}n^{12}\,&x''&{}+{}\ldots )\\{}+{}&\mathrm {N} ^{02}&\,(&n^{20}\,&x^{0}&{}+{}n^{21}\,&x'&{}+{}n^{22}\,&x''&{}+{}\ldots )\\{}+{}&\mathrm {N} ^{03}&\,(&n^{30}\,&x^{0}&{}+{}n^{31}\,&x'&{}+{}n^{32}\,&x''&{}+{}\ldots )\end{alignedat}}\\+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\\[1ex]{\begin{alignedat}{4}x'{}={}&\mathrm {N} ^{10}&\,(&n^{00}\,&x^{0}&{}+{}n^{01}\,&x'&{}+{}n^{02}\,&x''&{}+{}\ldots )\\{}+{}&\mathrm {N} ^{11}&\,(&n^{10}\,&x^{0}&{}+{}n^{11}\,&x'&{}+{}n^{12}\,&x''&{}+{}\ldots )\\{}+{}&\mathrm {N} ^{12}&\,(&n^{20}\,&x^{0}&{}+{}n^{21}\,&x'&{}+{}n^{22}\,&x''&{}+{}\ldots )\end{alignedat}}\\+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{array}}$

Ces équations étant identiques, on peut y substituer telles quantités que l’on voudra à la place de $x^{0}$, $x'$, $x''$, etc. Faisons dans la première

${\begin{aligned}x^{0}&=\mathrm {N} ^{10},&x'&=\mathrm {N} ^{11},&x''&=\mathrm {N} ^{12},\ldots ,\end{aligned}}$

et dans la seconde

${\begin{aligned}x^{0}&=\mathrm {N} ^{00},&x'&=\mathrm {N} ^{01},&x''&=\mathrm {N} ^{02},\ldots ,\end{aligned}}$

En retranchant ensuite les deux identités membre à membre,