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De même les probabilités de l’hypothèse
avant et après l’événement sont respectivement
et
![{\displaystyle {\frac {m'}{m+m'+m''}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511aeed7e4e1728676fe06017cff30c08a80c91e)
mais, comme on a supposé que les hypothèses
et
avaient avant l’événement la même probabilité, on aura
![{\displaystyle m+n=m'+n',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50f17e12042933826941327850f4611a4fbdafa4)
d’où résulte immédiatement la vérité du théorème.
Si maintenant on suppose qu’on n’a, pour déterminer les inconnues, que les observations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} &=\mathrm {M} ,&\mathrm {V} '&=\mathrm {M} ',&\mathrm {V} ''&=\mathrm {M} '',\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea1ca4416b3fc9eb43cee3cd29cdb4a8abff674)
et que tous les systèmes de valeurs des inconnues étaient également probables avant ces observations, il est visible que la probabilité d’un certain système, après ces observations, sera proportionnelle à
. C’est-à-dire que
exprimera la probabilité que les valeurs des inconnues soient respectivement comprises dans les limites infiniment voisines
et
,
et
,
et
représentant une quantité indépendante de
,
,
,
, etc. ; et l’on aura évidemment
![{\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \Omega \,\mathrm {d} p\,\mathrm {d} q\,\mathrm {d} r\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f4c2d3c886c3629a38fd46c735c9cf103a2fb3)
3.
De là résulte naturellement que le système le plus probable des valeurs de
,
,
,
, etc., correspondra au maximum de
, et se tirera des
équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} p}}&=0,&{\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} q}}&=0,&{\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} r}}&=0,\ldots ;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fab06c79a653beaeafdfe1d1f84feb1b1d223e4)
si l’on pose
![{\displaystyle \mathrm {V} -\mathrm {M} =v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f4cf52a413995c3c4c6c7b7385c3c682b344bd)
,
![{\displaystyle \mathrm {V} '-\mathrm {M} '=v'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8c373c309d01b6229c4bf53c7db79aa990ed673)
,
![{\displaystyle \mathrm {V} ''-\mathrm {M} ''=v''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef3fd28edc1db935bfcdf82145a77c682f87093)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
et
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} .\!\varphi (\Delta )}{\varphi (\Delta )\,.\mathrm {d} \Delta }}=\varphi '(\Delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5daa507a89621fd436c7cf9f0c8d97dc94905731)
,