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La probabilité que l’erreur d’une observation soit comprise dans les limites
et
; ou, abstraction faite des signes, qu’elle ne surpasse pas
, sera égale à
![{\displaystyle {\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\Delta }^{\Delta }e^{-h^{2}x^{2}}\,\mathrm {d} x\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15f4d03c869c534bc642cfa65f2984eb4c52c1e)
elle sera le double de l’intégrale en question, lorsque celle-ci est prise depuis
jusqu’à
, et, par conséquent, elle sera égale à
.
Ainsi la probabilité que l’erreur ne soit pas moindre que
est égale à
, ou égale à la probabilité du cas contraire. J’appellerai donc cette quantité
l’erreur probable, et je la désignerai par
.
Au contraire, la probabilité que l’erreur excède
n’est que de 1/10 ; la probabilité que l’erreur surpasse
n’est que de 1/100 ; et ainsi de suite.
3.
Supposons maintenant que les erreurs de
observations réellement faites soient
,
,
, etc., et cherchons quelles conséquences on en peut tirer relativement aux valeurs de
et
.
En faisant deux hypothèses sur la valeur exacte de
, et la supposant égale à
ou égale à
, les probabilités qu’elles soient entachées des erreurs
,
,
, etc., seront, pour les deux cas, dans le rapport de
![{\displaystyle \mathrm {H} \,e^{-\mathrm {H} ^{2}\,\alpha ^{2}}\times \mathrm {H} \,e^{-\mathrm {H} ^{2}\,\beta ^{2}}\times \mathrm {H} \,e^{-\mathrm {H} ^{2}\,\gamma ^{2}}\times \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b0bfdbfab064346303fc3bd405164fd372ef02)
à
![{\displaystyle \mathrm {H'} e^{-{\mathrm {H'} }^{2}\alpha ^{2}}\times \mathrm {H'} e^{-{\mathrm {H'} }^{2}\beta ^{2}}\times \mathrm {H'} e^{-{\mathrm {H'} }^{2}\gamma ^{2}}\times \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7322867547acb2c8ac202d0d09127244c3bf92d9)
c’est-à-dire comme
![{\displaystyle \mathrm {H} ^{m}e^{-{\mathrm {H} }^{2}\,(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots )}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517f722d868fc39c6b1eb920c7c4c2c4d5defdb0)
est à
![{\displaystyle \quad {\mathrm {H'} }^{m}e^{-{\mathrm {H'} }^{2}\,(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9137f2fa9d084122bb939e23cd60f61daa653b27)
Il est évident que les probabilités que
ou
soient les