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Les coordonnées $x$ et $y$, adoptées comme premières approximations, ont été déduites directement du quatrième et du cinquième angle. Quoique la méthode directe doive être considérée comme un sujet presque épuisé, j’indiquerai néanmoins, pour compléter, la méthode que j’ai l’habitude d’employer en pareil cas.

Soient $a$ et $b$ les coordonnées du premier point connu ; celles du second seront de la forme

${\begin{aligned}a+\mathrm {R} \,\cos \,\mathrm {E} &,&b+\mathrm {R} \,\sin \,\mathrm {E} &,\end{aligned}}$

et celles du troisième,

${\begin{aligned}a+\mathrm {R} '\,\cos \,\mathrm {E} '&,&b+\mathrm {R} '\,\sin \,\mathrm {E} '&.\end{aligned}}$

Soient

${\begin{aligned}a+\rho \,\cos \,\varepsilon &,&b+\rho \,\sin \,\varepsilon &\end{aligned}}$

les coordonnées cherchées du point d’où l’on observe ; soient $\mathrm {M}$ l’angle observé (toujours de la gauche à la droite) entre le premier et le deuxième point, et $\mathrm {M} '$ l’angle observé entre le premier et le troisième (en supposant qu’on en ait, s’il y a lieu, retranché 180 degrés) ; soient

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {R} }{\sin \,\mathrm {M} }}&=n,&{\frac {\mathrm {R} '}{\sin \,\mathrm {M} '}}&=n',\\[0.5em]\mathrm {E} -\mathrm {M} &=\mathrm {N} ,&\mathrm {E} '-\mathrm {M} '&=\mathrm {N} ':\end{aligned}}$

on a les deux équations

${\begin{aligned}\rho &=n\,\sin(\varepsilon -\mathrm {N} ),\\\rho &=n'\sin(\varepsilon -\mathrm {N} ')\,:\end{aligned}}$

qui, écrites de la manière suivante,

${\begin{aligned}n\,&={\frac {\rho }{\sin(\varepsilon -\mathrm {N} )}},\\n'&={\frac {\rho }{\sin(\varepsilon -\mathrm {N} ')}},\end{aligned}}$

se résoudront par la méthode exposée (Theoria Motus Corporum cœlestium, page 82).

L’une des solutions exposées en cet endroit conduit à la