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Lorsque $\mu ={\frac {2}{3}}$, les deux limites coïncident et $\lambda$ ne peut pas être supérieur à ${\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot$

Pour démontrer ce théorème remarquable, représentons par $y$ la valeur de l’intégrale

$\int _{-x}^{+x}\varphi (z)\,\mathrm {d} z$ ;

alors $y$ sera la probabilité pour qu’une erreur soit comprise entre $-x$ et $+x$.

Posons

$x=\psi (y)$,  $\mathrm {d} \psi (y)=\psi '(y)\,\mathrm {d} y$,  $\mathrm {d} \psi '(y)=\psi ''(y)\,\mathrm {d} y$,

on aura

$\psi (0)=0$,  et  $\psi '(y)={\frac {1}{\varphi (x)+\varphi (-x)}}$ ;

on en conclut, en ayant égard aux hypothèses qui ont été faites, que, depuis $y=0$ jusqu’à $y=1$, $\psi '(y)$ est toujours croissant, ou du moins n’est pas décroissant, et que, par suite, $\psi ''(y)$ est toujours positif, ou du moins n’est pas négatif. Or nous avons

$\mathrm {d} .y\,\psi '(y)=\psi '(y)\,\mathrm {d} y+y\,\psi ''(y)\,\mathrm {d} y$,

par suite,

$y\,\psi '(y)-\psi (y)=\int _{0}^{y}y\,\psi ''(y)\,\mathrm {d} y$ ;

$y\,\psi '(y)-\psi (y)$ a donc une valeur constamment positive, ou du moins cette expression ne sera jamais négative. Il suit de là que $1-{\frac {\psi (y)}{y\,\psi '(y)}}$ sera toujours positif et moindre que l’unité. Soit $f$ la valeur de cette différence pour $y=\mu$ ; à cause de $\psi (\mu )=\lambda \,m$, on a

$f=1-{\frac {\lambda \,m}{\mu \,\psi '(\mu )}}$,